Settimo problema di Hilbert
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Il settimo problema di Hilbert è uno dei problemi matematici posti da David Hilbert nel 1900. Riguarda l'irrazionalità e la trascendenza di particolari numeri (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Le questioni poste sono due:
- In un triangolo isoscele, se il rapporto tra l'angolo alla base e l'angolo al vertice è algebrico ma non razionale, si può affermare che il rapporto tra base e lato è sempre trascendente?
- Si può affermare che ab è sempre trascendente, per il numero algebrico e l'irrazionale algebrico b?
Alla seconda domanda ha risposto affermativamente Aleksandr Gelfond in 1934, e la questione ha subito un raffinamento da parte di Theodor Schneider nel 1935. Il risultato da lui raggiunto è noto come teorema di Gelfond o teorema di Gelfond–Schneider. (La restrizione a b irrazionale è importante, dato che è semplice verificare che ab è algebrico per a algebrico e b razionale.)
Generalizzando, si ha il caso
- blnα + lnβ = 0
della forma logaritmica generalizzata.
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