Incentro

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In geometria, l'incentro (indicato anche come I e X(1) nell'ETC) di un poligono è il punto equidistante da tutti i suoi lati nonché, conseguentemente, centro della circonferenza inscritta (incerchio) e punto comune di tutte le bisettrici degli angoli interni.

Esso è dunque presente soltanto nei poligoni inscrivibili, tra cui figurano in particolare tutti i poligoni regolari e tutti i triangoli.

[modifica] Teoremi

L'incentro è equidistante da tutti i lati del poligono: La distanza di un punto da un lato si misura lungo la perpendicolare che lo congiunge al lato stesso, in questo caso, essendo l'incentro il centro dell’incerchio, tale distanza coincide con il raggio di una circonferenza tangente tutti lati del poligono, e data l’invariabilità del raggio in ogni punto della circonferenza, l’incentro è equidistante da ogni lato del poligono.

L'incentro è il punto comune di tutte le bisettrici interne del poligono: Se la bisettrice può essere vista come il luogo dei punti equidistanti dai lati del proprio vertice, l’incentro, per il teorema precedente, non può che essere uno di tali punti, la sua particolarità, d’essere equidistante da ogni lato, lo farà, però, appartenere di diritto ad ogni bisettrice interna del poligono e dunque ne sarà anche il punto comune. Da questo teorema ne discende facilmente che l’incentro deve per forza essere un punto sempre interno al perimetro del poligono, o non potrebbe più essere comune a tutte le bisettrici.

L'incentro di un triangolo divide ciascuna bisettrice in due segmenti che stanno fra loro come i lati del vertice alle rispettive porzioni evidenziate dalla stessa sul lato opposto

[modifica] Coordinate

coordinate cartesiane: $\left( \frac{ax_a + bx_b + cx_c}{p};\frac{ay_a + by_b + cy_c}{p} \right)$

[modifica] Incentro di un poliedro

In tre dimensioni l'incentro di un poliedro è il punto equidistante da tutte le facce del poliedro. Per questa sua caratteristica, l'incentro è anche il centro della sfera inscritta nel poliedro (cioè tangente a tutte le sue facce), nonché il punto d'intersezione dei piani bisettori di ogni angolo diedro determinato da una coppia di facce del poliedro.