Poligono
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Un poligono è una particolare forma geometrica piana: è quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
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[modifica] Definizione
[modifica] Poligono non intrecciato
Un poligono non intrecciato è la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata. Ricordiamo che una linea spezzata non intrecciata è l'unione finita di segmenti consecutivi non adiacenti (detti lati) tali che due qualunque segmenti non consecutivi sono privi di punti in comune. Il punto in comune a due lati consecutivi è un cosiddetto vertice del poligono.
Il fatto che una linea spezzata chiusa delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan.
Una definizione costruttiva è la seguente: un punto P del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti in P intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.
[modifica] Poligono intrecciato
Generalmente, per "poligono" si intende un "poligono non intrecciato". Un poligono intrecciato è una parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa intrecciata. In questo caso, la nozione di "parte di piano delimitata" è meno intuitiva e può cambiare a seconda delle interpretazioni. Alcuni poligoni stellati sono esempi di poligoni intrecciati.
[modifica] Poligoni particolari
[modifica] Poligono convesso e concavo
Un poligono non intrecciato è convesso se e solo se tutti i suoi angoli interni sono minori o uguali di un angolo piatto. Un poligono si dice concavo se possiede almeno un angolo interno maggiore di un angolo piatto.
[modifica] Poligono regolare
Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali. Altrimenti il poligono è detto irregolare. Esempi di poligoni regolari sono il triangolo equilatero ed il quadrato. Esempi di poligoni irregolari sono il rombo generico (i lati sono uguali, gli angoli no), il rettangolo generico (gli angoli sono uguali, i lati no) ed il trapezio.
[modifica] Proprietà
[modifica] Angoli
La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (l), meno due:
Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:
La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è 180°, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.
Analogamente, la somma degli angoli esterni di un poligono convesso con l lati è uguale a
![(180^\circ \times l)-[(l-2) \times 180^\circ)] = 2 \times 180^\circ](../../../../math/4/3/8/438a04293228ca429158979fdc9b7050.png)
Questo perché la somma totale degli angoli esterni e interni è 180°*l sempre per qualsiasi poligono.
[modifica] Area
Con la Shoelace formula è possibile calcolare l'area di un poligono con n vertici aventi coordinate cartesiane 
nel modo seguente:
con la convenzione che (xn + 1;yn + 1) = (x1;y1).
Il teorema di Pick permette di calcolare l'area di qualunque poligono con vertici a coordinate intere.
[modifica] Classificazione
Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:
| N° lati | Nome |
|---|---|
| 3 | Triangolo |
| 4 | Quadrilatero |
| 5 | Pentagono |
| 6 | Esagono |
| 7 | Ettagono |
| 8 | Ottagono |
| 9 | Ennagono |
| 10 | Decagono |
| 11 | Endecagono |
| 12 | Dodecagono |
| 13 | Tridecagono |
| 14 | Tetradecagono |
| 15 | Pentadecagono |
| 16 | Esadecagono |
| 17 | Eptadecagono |
| 18 | Ottadecagono |
| 19 | Ennadecagono |
| 20 | Icosagono |
| 10000 | Miriagono |
[modifica] Voci correlate
[modifica] Collegamenti esterni
- (FR) poligoni, poliedri e politopi da Mathcurve, Encyclopédie des formes Mathématiques remarquables
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