Funzione a supporto compatto

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In matematica, una funzione definita su un dominio di $\mathbb{R}^n$ a valori reali o complessi si dice a supporto compatto (o funzione test) se ha per supporto un insieme compatto (spesso si considerano solo funzioni a supporto compatto che siano anche continue o addirittura infinitamente differenziabili e perciò la richiesta si integra direttamente nella definizione). Dal teorema di Heine-Borel e dalla definizione di supporto di una funzione, segue che una funzione è a supporto compatto se è diversa da 0 in un insieme limitato di punti; se si include anche la differenziabilità allora si restringe il campo ad una classe molto ristretta di funzioni, che viene usata principalmente in teoria delle distribuzioni.

Chiamiamo $D (O)$ lo spazio delle funzioni test sul dominio $O$ di $\mathbb{R}^n$ e semplicemente $D$ le funzioni test su $\mathbb{R}^n$ , ove non sia necessario specificare il numero di variabili. È da notare che una funzione a supporto compatto in dato dominio di $\mathbb{R}^n$ può essere prolungata in modo naturale a una funzione a supporto compatto su tutto $\mathbb{R}^n$ , semplicemente assegnando il valore 0 a tutti i punti al di fuori del dominio originario, in questo modo possiamo pensare una funzione in $D (O)$ come avente dominio in $\mathbb{R}^n$ ; allora, se $O \subset O' \subset \mathbb{R}^n$ , abbiamo anche $D(O) \subset D(O') \subset D$ .

[modifica] Esempi

Un esempio di funzione a supporto compatto è la funzione a campana:

$\Omega(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{1 - ||x||^2}}, & ||x|| < 1 \\ 0, & ||x|| \ge 1 \end{cases}$

definita su tutto $\mathbb{R}^n$ .

$\operatorname{\Omega}$ ha supporto nel disco chiuso di raggio 1 centrato nello 0, è infinitamente derivabile e si annulla con tutte le sue derivate per $||x|| \to 1$ .

La funzione Ω in dimensione 1

Una stretta parente della funzione a campana è data, $\forall \epsilon > 0$ , da

$\Omega_{\epsilon}(x) = \begin{cases} K_{\epsilon} e^{-\frac{1}{1 - {\frac{||x||^2}{\epsilon^2}}}}, & ||x|| < \epsilon \\ 0, & ||x|| \ge \epsilon \end{cases}$

dove $K ε$ è una costante reale positiva scelta in modo da avere $\int \Omega_\epsilon(x)d^nx = 1$ .

$\operatorname{\Omega_\epsilon}$ gode delle stesse proprietà della campana, salvo che ha supporto nel disco chiuso di raggio $ε$ . Si può dimostrare che le $\operatorname{\Omega_\epsilon}$ sono approssimanti della delta, nel senso che, presa una funzione $\operatorname{\phi}$ continua nello 0, vale $\lim_{\epsilon \to 0} \, \int \Omega_\epsilon(x)\phi(x)d^nx = \phi(0)$ .

Un'importante funzione a supporto compatto in una variabile si ottiene dalla convoluzione di $\operatorname{\Omega_\epsilon}$ con la funzione caratteristica $\operatorname{\chi}_{[-1,1]}(x)$ ( = 1 per -1 ≤ x ≤ 1, 0 altrimenti); abbiamo quindi, per ogni $ε > 0$ ,

$\operatorname{\chi_\epsilon(x)} = \int \Omega_\epsilon(x-y)\chi_{[-1,1]}(y)dy$

Si vede che, per questa funzione, vale: $\chi_{\epsilon}(x) = \begin{cases} 1, & |x| < 1 - \epsilon \\ 0, & |x| > 1 + \epsilon \end{cases}$

quindi, per $\epsilon \to 0, \operatorname{\chi_\epsilon(x)} \to \operatorname{\chi}_{[-1,1]}(x)$ puntualmente.

[modifica] Proprietà

Data una funzione f localmente integrabile in $\mathbb{R}^n$ e una φ in $D$ , l'integrale di Lebesgue $\int f(x)\phi(x)d^nx$ ha sempre valore finito.
Se g è una funzione assolutamente continua su $\mathbb{R}$ con derivata (di Radon-Nikodym) g', allora vale $\int g'(x)\phi(x)dx = -\int g(x)\phi'(x)dx$ . In altre parole, nell'eseguire l'integrazione per parti con una funzione test, i termini di bordo si annullano.
La somma o il prodotto di due funzioni a supporto compatto è ancora a supporto compatto.

[modifica] Convergenza

Lo spazio $D (O)$ può essere munito di una struttura di spazio topologico; il modo più semplice per farlo è definire un criterio di convergenza per le successioni.

Una successione di funzioni {φ_k} di $D (O)$ converge a una funzione φ (di $D (O)$ ) se, definitamente, Suppφ_k $\subset$ Suppφ e se le derivate di ogni ordine di φ_k convergono uniformemente alle corrispondenti derivate di φ.

Si tratta di una condizione molto forte di convergenza, infatti, una successione convergente in $D (O)$ è anche puntualmente convergente, uniformemente convergente e convergente nello spazio delle funzioni p-sommabili per ogni p.