Equazione di continuità

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Una equazione di continuità, in fisica, esprime una legge di conservazione utilizzando il flusso della grandezza che si conserva attraverso una superficie chiusa. L'equazione di continuità può essere espressa come legge differenziale o integrale.

Indice

1 Conservazione della carica
- 1.1 Notazione relativistica
2 In fluidodinamica
3 In meccanica quantistica

[modifica] Conservazione della carica

Come conservazione della carica, l'equazione di continuità può essere semplicemente scritta come:

$\vec \nabla \cdot \vec j + \frac {\operatorname d \rho}{\operatorname d t} = 0$

che come legge integrale diventa

$i = \int_S \vec j \cdot \operatorname d \vec a = - \frac {\partial}{\partial t} \int_V \rho \operatorname d V$

dove i è la corrente elettrica e ρ la densità di carica.

Ovvero il flusso della densità di corrente j attraverso una qualunque superficie chiusa S è pari alla variazione della carica contenuta nel volume racchiuso da S.

Essa è, molto semplicemente, una conseguenza delle equazioni di Maxwell: nel dettaglio può essere ricavata eseguendo l'operazione di divergenza sulla quarta e sostituiendo al suo interno la prima:

$0=\vec \nabla \cdot \vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \vec \nabla \cdot \vec j + \epsilon_0 \mu_0 \frac {\partial \vec \nabla \cdot \vec E}{\partial t}$

$\vec \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\epsilon_0}$

e quindi l'equazione di continuità.

[modifica] Notazione relativistica

L'equazione di continuità può essere scritta in maniera molto semplice e compatta utilizzando la notazione relativistica. Si definisce il quadrivettore densità di corrente, la cui componente temporale è la densità di carica e quella spaziale è il vettore densità di corrente:

$J^\mu =(c\rho, \overrightarrow J)$

in questo modo l'equazione di continuità diventa:

$\partial_\mu J^\mu = 0$

Tale modo di esprimere compatto, una volta sostituita l'espressione espilicita di $J^\mu\$ diventa l'espressione già data della equazione di continuità:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$

[modifica] In fluidodinamica

Si può definire un'equazione di continuità anche in fluidodinamica. Essa, in pratica, diventa una legge di conservazione della massa. Si consideri un volume di controllo elementare fisso nel tempo dV = dx dy dz delimitato da facce parallele agli assi coordinati. Il principio di conservazione della massa esprime il fatto che il flusso netto di massa attraverso la superficie di controllo nell' intervallo di tempo dt è pari alla variazione di massa all'interno dello stesso elemento. Essendo il volume di controllo infinitamente piccolo ed assumendo che le variabili varino con continuità nello spazio e nel tempo, la massa del volume di controllo può essere espressa con dm = $ρ$ dV dove $ρ$ è la densità del fluido.

$\frac {\partial \rho}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho\operatorname v) = 0$

che per un fluido incomprimibile diventa:

$\nabla \cdot \operatorname v = 0$

[modifica] In meccanica quantistica

Anche in meccanica quantistica l'equazione di continuità esprime una legge di conservazione, questa volta della densità di probabilità. Essa, infatti, è data da:

$\frac {\partial}{\partial t} \left | \psi \left ( \vec r, t \right ) \right |^2 + \vec \nabla \cdot \vec j \left ( \vec r, t \right ) = 0$