Уравнение непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Содержание

1 Электромагнетизм
- 1.1 Вывод
- 1.2 Интерпретация
2 Гидродинамика
3 Квантовая механика

[править] Электромагнетизм

В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,

$\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \rho \over \partial t}$

[править] Вывод

Закон Ампера гласит

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.$

Взяв дивергенцию от обоих частей выражения, получим

$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{H} = \nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t}$ ,

но дивергенция ротора равняется нулю, таким образом

$\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t} = 0. \qquad \qquad (1)$

Из закона Гаусса следует

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho.\,$

Подставляя результат в уравнение (1), получим уравнение непрерывности

$\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0.$

[править] Интерпретация

Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае скорость изменения плотности заряда отрицательна.

[править] Гидродинамика

В гидродинамике уравнение непрерывности, иногда называемое уравнением неразрывности, выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

${\partial \rho \over \partial t} + \nabla\cdot (\rho\vec{v}) = {\partial \rho \over \partial t} + \rho\cdot\operatorname{div}\,\vec{v} + \vec{v}\cdot\nabla\rho = 0$ ,

где $\rho = \rho\left(x,y,z,t\right)$ — плотность потока жидкости (или газа), $\vec{v} = \vec{v}\left(x,y,z,t\right)$ — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами $\left(x, y, z\right)$ в момент времени $\,t$ .

Вектор $j = \rho\cdot\vec{v}$ называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей $\,\rho = \operatorname{const}$ . Поэтому уравнение принимает вид

$\operatorname{div}\,\vec{v} = 0$ ,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

[править] Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике сохранение вероятности также приводит к уравнению непрерывности. Пусть P(x, t) — плотность вероятности, тогда уравнение запишется в виде

$\nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x,t)$