連続の方程式

連続の方程式（れんぞくのほうていしき、Equation of continuity、連続方程式、連続の式などとも言う）は物理学で一般的に適用できる方程式で、「物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方をあらわす。保存則と密接に関わっている。

${\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$

この式を連続の方程式と言い、ρは密度、vは流れの速度、tは時間である。∇はナブラを参照。

[編集] 流体についての連続の方程式

粘性のない完全流体を考える。静止した閉曲面Sにおいて、それに囲まれた空間の体積をV、及びその空間に存在する流体の質量をmとする。また、その流体内で流体をなす物質の生成、消滅は無いとする。ここで、

$m \, = \int_V \rho dV$

であり、閉曲面Sの中に流れ込む流体の量の時間による変化は、

${dm \over {dt}} = - \int_S \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} dS = - \int_S \rho (\mathbf{v} \cdot d \mathbf{S} )$

として表される。nは、閉曲面Sの法線方向（外向き）の単位ベクトル、従って、dSは、閉曲面に対して外向きの表面の素片（ベクトル）である。上式中辺、右辺のマイナスは、閉曲面に対して外向き、つまり流れ出す方を正としたためである。以上から、

${dm \over {dt}} = {d \over {dt}} \int_V \rho dV = \int_V {\partial \rho \over {\partial t}} dV$

となり（上式で体積は、時間tに対して不変なので、dV/dt = 0）、また、ガウスの定理より、

$- \int_S \rho (\mathbf{v} \cdot d \mathbf{S}) = - \int_V \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) dV$

となる。上の２式の右辺の積分内は等しいことから連続の方程式が得られる。尚、連続の方程式は、質量の保存則を表す式にもなっている。

マクスウェルの方程式から電荷の保存則に相当する連続の方程式を導ける。マクスウェル＝アンペールの式、

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$

（j は電流密度）の両辺に発散(ダイバージェンス、 $\nabla \cdot$ )を作用させると、左辺はベクトル三重積中にナブラが二つ出てくるのでゼロとなる。一方右辺で、電束密度Ｄの時間微分の項について、マクスウェル＝ガウスの式、

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$

（ρ は電荷密度）を使うことで連続の方程式が得られる。これは電荷が途中で出来たり消えたりしないことをあらわしている。

電磁気学に出てくるもう一つの連続の方程式としては、電磁場のエネルギー保存則に相当する以下の式である。

$\frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt}\int_V u(\mathbf{r},t)d^3r + \oint_{\partial V} \mathbf{S}(\mathbf{r},t) \cdot d\mathbf{A}$

ここで、u はエネルギー密度であり、Sはポインティング・ベクトルである。 u はそれぞれの点において電磁場が持つエネルギーで、 S はその流れを表している。左辺の W は、電磁場が外部に為す仕事である。

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = 0$

電磁場が外部に対し仕事をしない場合この式が成り立ち、電磁場のエネルギーが保存していることを表している。