Legge di conservazione della carica elettrica

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La legge di conservazione della carica elettrica, nota anche come equazione di continuità, può essere enunciata così:

Il flusso della densità di corrente $\vec j$ attraverso una qualunque superficie chiusa S è pari alla variazione della carica contenuta nel volume racchiuso da S

In pratica quello che esce da una superficie chiusa, doveva essere già all'interno, e non si crea nessuna carica.

[modifica] Definizione matematica

Matematicamente, è solitamente descritta come equazione differenziale

$\vec \nabla \cdot \vec j + \frac {\operatorname d \rho}{\operatorname d t} = 0$

o come legge integrale

$i = \int_S \vec j \cdot \operatorname d \vec a = - \frac {\partial}{\partial t} \int_V \rho \operatorname d V$

dove i è la corrente e ρ la densità di carica.

È una conseguenza delle equazioni di Maxwell: nel dettaglio essa proviene dall'operazione di divergenza effettuata sulla quarta e dal sostituire al suo interno il valore della prima:

$\vec \nabla \cdot \vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \vec \nabla \cdot \vec j + \epsilon_0 \mu_0 \frac {\partial \vec \nabla \cdot \vec E}{\partial t}$

$\vec \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\epsilon_0}$

e quindi l'equazione di continuità.

[modifica] Un po' di storia

In realtà, la formulazione della legge è antecedente alle leggi di Maxwell. La IV equazione era nota nella forma

$\vec \nabla \times \vec B = \frac { \vec j } { c^2 \epsilon_0}$

come legge di Ampère.

Ora, per una nota proprietà del calcolo vettoriale, cioè che

$\vec A \cdot ( \vec A \times \vec B) = 0$ , per A e B qualunque

la divergenza di quanto sopra è nulla, ossia $\vec \nabla \cdot \vec j = 0$ .

Applicando il teorema di Gauss sulla divergenza, si ha:

$\int_V \vec \nabla \cdot \vec j \cdot \operatorname d V = 0$

Sostituendo la forma integrale della conservazione della carica,

$\frac {\partial } {\partial t} \int_V \rho dV= 0$

Quindi, secondo la legge di Ampère non potrebbe esistere nessun movimento di cariche, e quindi nessuna corrente. Dato che ciò è falso, o è sbagliata la conservazione della carica, o la legge è incompleta. Visto che non si era mai osservata la creazione di carica, il ragionamento di Maxwell, espresso in termini moderni, fu il seguente: dato che la divergenza di un rotore è sempre nulla, ci deve essere un termine uguale ed opposto a j/(c²ε₀) per far tornare l'equazione.

Ora, supponendo una distribuzione uniforme di carica Q in funzione di una distanza r da un punto, Q(r), applicando il teorema di Gauss ad una sfera centrata sul punto e di raggio r, il campo elettrico E avrebbe intensità

$E(r) = \frac {Q(r)} {4 \pi \epsilon _0 r^2}$

La derivata della carica rispetto al tempo, ossia la densità di corrente moltiplicata l'area della superficie, è uguale ed opposta alla variazione della carica nel volume racchiuso:

$\frac {\partial Q(r)}{\partial t} = - 4 \pi r^2 \vec j$

Quindi la derivata del campo E rispetto al tempo è

$\frac {\partial E(r)}{\partial t} = \frac {\partial Q(r)}{\partial t} \cdot \frac {1}{4 \pi \epsilon _0 r^2}$

cioè

$\frac {\partial E(r)}{\partial t} = - \frac { \vec j}{\epsilon _0}$

Ciò vale per una distribuzione di carica qualunque.

Quindi, per avere coerenza, va aggiunto al secondo membro dell'equazione di Ampère un termine pari alla derivata temporale del campo elettrico, ed ecco magicamente la IV equazione di Maxwell

$c^2 \vec \nabla \times \vec B = \frac { \vec j } { \epsilon_0} + \frac {\partial \vec E}{\partial t}$

[modifica] Notazione relativistica

L'equazione di continuità può essere scritta in maniera molto semplice e compatta utilizzando la notazione relativistica. Si definisce il quadrivettore densità di corrente J = (ρ, j;), la cui componente temporale ρ è la densità di carica e quella spaziale j è il vettore densità di corrente; in questo modo l'equazione di continuità diventa:

$\partial_\mu J^\mu = 0$