Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

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In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz, dai nomi dei matematici Augustin Louis Cauchy e Hermann Amandus Schwarz, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.

[modifica] La disuguaglianza

Sia V uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore del prodotto delle loro norme. Formalmente:

Inoltre ci può essere uguaglianza solo se x e y sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

[modifica] Proprietà

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo n-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione

$|\langle x,y \rangle| = |x|\cdot|y||\cos \theta|$ .

dove θ è l'angolo fra i due vettori x e y. Si estende quindi questa relazione ad un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori x e y come il $\theta \in [0,\pi]$ che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza, troviamo:

il prodotto scalare (o hermitiano) è una funzione continua da V × V in R;
la norma verifica la disuguaglianza triangolare;
la disuguaglianza di Bessel.

[modifica] Dimostrazione

Dimostriamo la disuguaglianza nel caso complesso. Risulta banalmente vera per y = 0, quindi assumiamo <y,y> diverso da zero. Sia $λ$ un numero complesso. Abbiamo:

$0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2 = \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle$

$= \langle x,x \rangle - \lambda \langle x,y \rangle - \overline\lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.$

Scegliendo

$\lambda = \langle y,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$

otteniamo

$0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$

che vale se e solo se

$|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle$

o equivalentemente:

Dimostriamo la diseguaglianza nel caso reale. Risulta banalmente vera per y = 0, quindi assumiamo <y,y> diverso da zero. Sia $λ$ un numero reale. Abbiamo:

$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle -2\lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \langle y,y \rangle.$