Неравенство Коши — Буняковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Нера́венство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца, хотя работы Шварца (Schwarz) на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского (1859). Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Содержание

1 Формулировка
- 1.1 Комментарии
2 Примеры
3 Доказательство для случая векторного пространства над действительным полем
4 Литература

[править] Формулировка

Пусть дано линейное пространство $\ L$ со скалярным произведением $\langle \cdot, \cdot \rangle$ . Пусть $\|\cdot\|$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle},\; \forall x \in L$ . Тогда для любых $x,y\in L$ имеем

$|\langle x, y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\|$ ,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\ x$ и $\ y$ пропорциональны (коллинеарны).

[править] Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что $\|x\|^2\|y\|^2 - \langle x, y\rangle^2 = S(x,y)^2$ , где $\ S(x,y)$ —площадь параллелограмма, натянутого на векторы $\ x$ и $\ y$ .

В общем случае $\|x\|^2\ - {\langle x, y\rangle^2\over \|y\|^2} = \|x - {\langle x,y\rangle \over\|y\|^2}y\|^2$

[править] Примеры

В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $\ l^2$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left| \sum\limits_{k=1}^{\infty} x_k \bar{y}_k \right| ^2 \le \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^2 \right)$ ,

где $\bar{y}_k$ обозначает комплексное сопряжение $\ y_k$ .

В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^2(X,\mathcal{F},\mu)$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

$\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leq \left(\int\limits_X \left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right) \cdot \left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)$ .