Ковариация
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ковариа́ция в теории вероятностей — это мера линейной зависимости случайных величин.
Содержание |
[править] Определение
Пусть X,Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:
![\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right]](../../../../math/8/0/c/80c8b776225a6502365c2fb45f844bf4.png)
,
в предположении, что все математические ожидания в правой части определены.
[править] Замечания
- Если
, то есть имеют конечный второй момент, то ковариация определена и конечна. - В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом
ковариация имеет вид ![\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY]](../../../../math/0/8/8/08814781f38650609136be77cdd8c822.png)
и играет роль скалярного произведения.
[править] Свойства ковариации
- Ковариация симметрична:
- cov(X,Y) = cov(Y,X).
- В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как
![\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y]](../../../../math/0/f/6/0f65660977a7c402ab4aed67b3e68962.png)
.
- Пусть
случайные величины, а 
их две произвольные линейные комбинации. Тогда
.
В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.
- Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:
- cov(X,X) = D[X].
- Если X,Y независимые случайные величины, то
- cov(X,Y) = 0.
Обратное, вообще говоря, неверно.
![\mathrm{cov}^2(X,Y) \leq \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y]](../../../../math/2/c/7/2c7bab23479cb2caeabdbf2145b2b634.png)
.
