Desigualdade de Cauchy-Schwarz

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Em matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schuarz, é uma desigualdade muito útil que aparece em vários contextos diferentes, tais como em álgebra linear aplicando-se a vetores, em análise aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

A desigualdade garante que, para quaisquer dois vectores x e y de um espaço vectorial com produto interno, se tem

$|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

com igualdade se, e só se, x e y são linearmente dependentes.

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").

[editar] Exemplos

Se x e y são vectores com n coordenadas a desigualdade toma a forma

$(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + \cdots + b_n^2).$

Em análise esta desigualdade pode ser aplicada a séries infinitas.

[editar] Demonstração

Como a desigualdade é trivialmente verdadeira no caso y = 0, podemos assumir que <y,y> é diferente de zero.

Seja $λ$ um número complexo. Então,

$0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2 = \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \lambda \langle x,y \rangle - \bar{\lambda} \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.$