コーシー・シュワルツの不等式

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コーシー・シュワルツの不等式 (Cauchy–Schwarz inequality) 、シュワルツの不等式、シュヴァルツの不等式あるいはコーシー・プニャコフスキー・シュワルツの不等式 (Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality) とは、線型代数学においてはベクトルに、解析学においては無限級数や積分の積に、確率論においては分散や共分散に適用されるなど、様々な異なる状況で現れる有用な不等式であり、次の定理のように述べられる。

[編集] 定理

複素内積空間 $(X,\,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ において、 $f,\,g\in X$ に対して、不等式　 $(*)\quad |\langle f,g\rangle|\le||f||\,||g||$ 　が成り立つ。また、 $\;(*)\;$ において等号が成立するのは、 $\,f\,$ と $\,g\,$ とが線型従属であるときかつそのときに限る。

[編集] 証明

$g=0\,$ のときは、 $\,f\,$ と $\,g\,$ とは線形従属であり、また $\;(*)\;$ において両辺が 0 となり等号が成立する。 $\,g\not=0\,$ のとき、 $\,f\;$ の $\;g\,$ 方向への直交射影を $\;\hat{f}=t\,g\;(\,t\in\mathbb{C}\,)\;$ とおく。直交射影の条件 $\;\;\langle f-t\,g,\,g\rangle=0\;\;$ より $\;\;t=\frac{\langle f,g\rangle}{\;||g||^2} \;\;$ を得る。 $\;\;||f-\hat{f}||^2=\langle f-t\,g,\,f-t\,g\rangle=\langle f-t\,g,\,f\rangle=||f||^2\,-\,\frac{\langle f,g\rangle}{\;||g||^2}\,\langle g,f\rangle=\frac{||f||^2||g||^2-|\langle f,g\rangle|^2}{||g||^2}\ge 0$ 　より　 $||f||\,||g||\ge |\langle f,g\rangle|\;\;$ を得る。さらに、 $\,f\,$ と $\,g\,$ とが線型従属のときかつそのときに限り $\;\;f=\hat{f}\;\,$ であることから定理の等号成立条件を得る。

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コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結のひとつは、内積が連続関数であるということである。

また、この定理の系として内積ノルムに関する三角不等式が導かれる。

[編集] 系

複素内積空間 $(X,\,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ において、 $f,\,g\in X$ に対して、不等式　 $(**)\quad ||f+g||\le ||f||+||g||$ が成り立つ。また、 $\;(**)\;$ において等号が成立するのは、 $\,f,\,g\,$ のいずれか一方が 0 であるかまたは一方が他方の正の実数倍であるときかつそのときに限る。

[編集] 証明

$(\,||f||+||g||\,)^2-||f+g||^2=(\,||f||^2+2\,||f||\,||g||+||g||^2\,) -(\,||f||^2+\langle f,g\rangle+\langle g,f\rangle+||g||^2\,)=2\,||f||\,||g||-2\,\mathrm{Re}\langle f,g\rangle$

$\,f,\,g\,$ のいずれか一方が 0 であればこの式は 0 となる。以下では $\,f,\,g\,$ いずれも 0 でないとする。定理より $||f||\,||g||\ge |\langle f,g\rangle|$ であるが、ここでの等号成立条件は $f=t\,g\;(\,{}^{\exists}t\in\mathbb{C}\,)$ である。また $|\langle f,g\rangle|\ge\mathrm{Re}\langle f,g\rangle$ であるが、ここでの等号成立条件は $\langle f,g\rangle>0$ であり、先の条件 $f=t\,g\;(\,{}^{\exists} t\in\mathbb{C}\,)$ のもとでは、 $t=\frac{\langle f,g\rangle}{\;||g||^2}>0$ が等号成立の必要十分条件となる。