Condensato di Bose - Einstein

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Il condensato di Bose-Einstein (in sigla BEC) è uno stato della materia che si ottiene quando si porta un insieme di bosoni a temperature estremamente vicine allo zero assoluto (0 K, oppure -273,15 °C). In queste condizioni di grande raffreddamento, una frazione non trascurabile delle particelle si porta nello stato quantistico di più piccola energia, e gli effetti quantistici si manifestano su scala macroscopica.

Questo stato della materia venne predetto per la prima volta, sulla base della meccanica quantistica da Albert Einstein, basandosi sul lavoro di Satyendra Nath Bose, nel 1925. Settanta anni più tardi, il primo condensato di questo tipo fu prodotto da Eric Cornell e Carl Wieman nel 1995 al laboratorio NIST-JILA dell'Università del Colorado, usando un gas di rubidio alla temperatura di 170 nanokelvin (nK). Cornell e Wieman e Wolfgang Ketterle hanno vinto il Premio Nobel per la Fisica nel 2001.

Attualmente lo studio dei condensati congiunge vasti campi della fisica: La fisica atomica, la fisica dei molti corpi, l'ottica quantistica.

[modifica] Teoria

La teoria ha le sue radici nei primi anni '20 quando Bose si occupava del movimento della luce in quanti ed ideò una serie di regole per decidere se due fotoni dovevano essere considerati distinti o meno (statistica di Bose). Egli sottopose questo lavoro ad Einstein che, oltre ad apprezzarlo ed a farlo pubblicare, lo applicò anche agli atomi. Dai calcoli risultò che non si manifestavano molte differenze rispetto alle vecchie regole tranne nel caso di temperature molto basse; l'effetto era così sorprendente da far sospettare un errore. Neanche Einstein si rese conto di cosa significava avere tutti gli atomi nello stesso stato. La dimostrazione empirica della teoria venne ottenuta per la prima volta nel 1995 da Eric Cornell e Carl Wieman all'Università di Boulder mediante tecniche di raffreddamento a laser che hanno permesso di portare degli atomi di gas di rubidio a circa 6×10^-8 K.

[modifica] Studi

La distribuzione di velocità conferma la scoperta di un nuovo stato della materia, il condensato di Bose - Einstein di un gas di atomi di rubidio

Il padre dei condensati pure senza averli creati viene considerato Daniel Kleppner del MIT. Iniziò ad interessarsi ai condensati a partire dal 1976 ispirato dai suoi precedenti studi sull'idrogeno a spin polarizzati che alle temperature vicine allo zero assoluto rimane allo stato gassoso. Ma ci arrivarono come detto prima i suoi studenti Wieman, Cornell e dopo anche Ketterle, Pritchard,Hulet e il premio Nobel Philips con gli atomi alcalini. Ma nel giugno del 1998 con i suoi studenti osservò per la prima volta il condensato di idrogeno (che si rivelò molto più difficile da creare che con gli atomi alcalini)

Gli stessi Eric Cornell e Carl Wieman scoprirono che riducendo via via la repulsione artificiale il condensato si riduceva di dimensioni (come previsto dalla teoria) per poi esplodere (nell'esperimento vennero espulsi circa un terzo degli atomi) lasciando un piccolo condensato residuo circondato da una nube più calda di atomi). Questo nuovo fenomeno venne battezzato: nova di Bose (nova è un termine preso in prestito dall'astronomia: il fenomeno delle stelle che collassano viene detto nova e supernova). Quindi quando la forza è repulsiva, il condensato si gonfia. Quando la forza è attrattiva invece si comprime e dà vita a una nova di Bose.

Nel 1993 si è osservato per la prima volta un condensato gassoso formato da eccitoni all'interno di un semiconduttore di ossido di rame. Un eccitone è uno stato legato di un elettrone e una lacuna dovuto a fenomeni di eccitazione collettiva in un semiconduttore.

Fisici dell'olandese FOM Institute for Atomic And Molecular Physics studiano i processi di collasso dei condensati e si è osservato che il BEC è un processo che ha una coerenza locale e solo più tardi la coerenza si estende su tutto il condensato. Gli atomi più caldi si accumulano al centro e quelli più freddi alle estremità del BEC. Quando è raggiunto lo stato di equilibrio il condensato mostra stati oscillatori nella sua forma.

All'Università di Innsbruck dimostrarono che è possibile con la tecnologia attuale costruire un modello acustico di buco nero in cui le onde sonore prendono il posto della luce. Il buco nero acustico dovrebbe esplodere in un impulso di fononi come secondo la teoria di Hawking i buchi neri tradizionali dovrebbero evaporare tramite la radiazione di Hawking.

Alla Princeton University si ipotizza che la materia oscura possa esser composta da condensati.

[modifica] Esperimenti

Nel 1998 viene creato il primo condensato di Idrogeno da Daniel Kleppner e i suoi studenti.

Nel 1999 Lene Vestergard Hau del Rowland Institute of Science di Cambridge riuscì a rallentare la velocità della luce a 17 m/s attraverso un gas ultrafreddo. A novembre dello stesso anno Ketterle osservò la luce attraversare un condensato alla velocità di 1 metro al secondo.

Nel 2001 il gruppo INFM del LENS di Firenze ha prodotto il primo condensato di Potassio-41 tramite una tecnica innovativa di contatto termico con un campione di atomi di rubidio in una trappola magnetica. Così la facilità di raffreddare mediante laser il rubidio ha fatto abbassare la temperatura fino a 100nK. Lo stesso anno in un esperimento eseguito dal NIST (National Istitute of Standars), è stato prodotto un condensato di rubidio 85, a 3 miliardesimi di kelvin: la più bassa temperatura mai ottenuta. I ricercatori così hanno potuto modificare le interazioni atomiche applicando diversi campi magnetici e creando una nova di Bose. In un altro esperimento, è stato creato in un condensato un vortice ad anello (forma insolita ma prevista) creando un "solitone oscuro". Un solitone è un'onda che può propagarsi per lunghe distanze senza dissipare nessuna energia.

Nel 2002, un gruppo di fisici tedeschi ha proposto, in un articolo, un metodo per indurre un gas di bosoni ultrafreddi a comportarsi da fermioni, e a non condensare.

Sempre lo stesso anno l'Università di Innsbruck ha creato un condensato di Bose-Einstein di Cesio e un gruppo di fisici italiani ha dimostrato che un BEC può provocare il collasso di un gas di Fermi. La scoperta potrebbe anche aiutare i fisici a trasformare un gas di Fermi in un superfluido, una sostanza priva di viscosità.

Nel 2003 all'Università di Innsbruck in Austria sono riusciti a creare il primo condensato molecolare di litio. Sono stati usati dei laser per raffreddare la nube gassosa fino a che gli atomi della nube si sono accoppiati in molecole di litio. Il condensato conteneva circa 150.000 molecole ed è durato 20 secondi a differenza degli altri BEC della durata di pochi millisecondi.

Nel 2006 all'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne viene creato il primo condensato di polaritoni

[modifica] Derivazione Matematica

Il condensato viene fuori considerando un sistema di bosoni indipendenti (cioè non interagenti) liberi e massivi. La distribuzione di questi bosoni è la Bose-Einstein:

$f(\varepsilon)= \frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}-1}$

Per calcolare il numero di totale di bosoni in un dato sistema bisognerebbe sommare su tutti i possibili livelli energetici. Il teorema di Eulero, invece, permette di 'sostituire' la sommatoria discreta in un integrale nello spazio delle fasi, commettendo un errore trascurabile.

$\sum_{i=0}^{\infty} f(\varepsilon_{i}) \quad \rightarrow \quad \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3}}\int d^{3}p \int d^{3}q \, f(p,q)$

In questo caso quindi si ottiene:

$\sum_{i=0}^{\infty} f(\varepsilon_{i}) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3}}\int d^{3}p \int d^{3}q \, \frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}-1}$

A questo punto consideriamo i bosoni chiusi in un volume V e di energia: $\varepsilon= \frac{p^{2}}{2m}$ , cioè quella di una particella libera. Da cui deriva $p= \sqrt{2m\varepsilon}$ Quindi il numero complessivo di bosoni è:

$N=\frac{V}{(2\pi\hbar)^{3}}\int_{0}^{\infty} \, 4\pi p^{2} \frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}-1}\, dp=$

$=\frac{V4\pi (2m)^{\frac{3}{2}}}{(2\pi\hbar)^{3}}\int_{0}^{\infty} \, \sqrt{\varepsilon} \frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}-1}\, d\varepsilon$

Ma a questo numero non contribuiscono i bosoni appartenenti al primo livello energetico, per i quali si ha $\varepsilon=0$ .Quindi questi sono tutti i bosoni appartenenti ai livelli eccitati $N_{\varepsilon}$ e i bosoni appartenenti al fondamentale si possono scrivere come

$N_{0}=N-N_{\varepsilon}$

Dove N è il numero totale.

Si nota inoltre che a temperatura T=0 il potenziale chimico $μ$ è nullo e decresce con la temperatura. Si può inoltre supporre che per piccole variazioni di temperatura dallo 0 il potenziale chimico vari poco, in modo tale che si possa approssimare $\mu \simeq 0$ .

Ora ragionando a basse temperature, con l'approssimazione di sopra, si puo' calcolare il numero di bosoni nel livello fondamentale:

$N_{0}=N-N_{\varepsilon}=N-\frac{V4\pi (2m)^{\frac{3}{2}}}{(2\pi\hbar)^{3}}\int_{0}^{\infty} \, \sqrt{\varepsilon} \frac{1}{e^{\frac{\varepsilon}{kT_{0}}}-1}\, d\varepsilon= N-\frac{V4\pi (2m)^{\frac{3}{2}}}{(2\pi\hbar)^{3}}(kT_{0})^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} \, \sqrt{x} \frac{1}{e^{x}-1}\, dx.$

L'integrale è un integrale noto, chiamato $K_{\frac{3}{2}}=\zeta(\frac{3}{2})\Gamma(\frac{3}{2})$ . Dove $ζ(x)$ e $Γ(x)$ sono la funzione zeta di Riemann e la gamma di Eulero. Quindi: