Sinc

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פונקציית ה-sinc המנורמלת (בכחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגים על אותה סקלה עבור x = −6π to 6π.

במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת $\mathrm{sinc}(x)\,$ , יש שתי הגדרות:

בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$
במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.$

בשני המקרים, ערך הפונקצייה בנקודת אי-הרציפות הסליקה 0=x לעתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".

[עריכה] תכונות

פונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

$\mathrm{sinc}(0) = 1\,$ ו $\mathrm{sinc}(k) = 0\,$ עבור $k\ne 0\,$ and ו $k\in\mathbb{Z}\,$ (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
הפונקציות $x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k) \$ יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות $L^2(\R)$ עם תדירות זוויתית מקסימלית $\omega_\mathrm{H}=\pi\,$ (כלומר התדירות המקסימלית היא $f_\mathrm{H}=1/2\,$ ).

תכונות נוסםפות של פונקציית ה-sinc:

נקודות הקיצון, מקסימום ומינימום, של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת $\frac{\sin(x)}{x}\,$ מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציית עם פונקציית הקוסינוס. כלומר $\frac{\sin(x)}{x} = \cos(x) \,$ לכל נקודה בה הנגזרת של $\frac{\sin(x)}{x} \,$ היא 0.

פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, $j_0(x) = \frac{\sin(x)}{x} \,$ . פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת $j_0(\pi x)\,$ .

האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות של פאי ( $\pi\,$ ). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \,$ מתרחשים בנקודות שהן מספרים שלמים השונים מאפס.

התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \,$ הוא $\mathrm{rect}(f)\,$ .

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f)$ ,

כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.

אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרי הפרטי

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1$

הוא אינטגרל לא-נאות. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:

$\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\ dx = \infty \,$

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)$

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}$

כאשר

Γ(x)

היא פונקציית גאמה.

$\int_{0}^{x} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x)$

כאשר Si(x) הוא אינטגרל סינוס (sine integral).

[עריכה] קשר עם פונקציית דלתא של דיראק

פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק, למרות שהיא אינה התפלגות (distribution).

פונקציית ה-sinc המנורמלת קשורה להתפלגות דלתא $\ \delta (x)$ על ידי

$\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x)$

זה לא גבול רגיל, כי אגף שמאל לא מתכנס. תחת זאת, זה אומר ש

$\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx = \varphi(0),$

לכל פונקציה חלקה $\varphi(x)$ עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של $\ \pm 1 / (\pi x )$ , ללא תלות בערך של a ושואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של $\ \delta (x)$ כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0 וממחישה את הבעיה של חשיבה על פונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

[עריכה] ראו גם

אנטי אליאסינג
מסנן sinc
נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

[עריכה] קישורים חיצוניים

Sinc, באתר Math World

קטגוריות: פונקציות מתמטיות | עיבוד אותות

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Sinc

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] תכונות

[עריכה] קשר עם פונקציית דלתא של דיראק

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות