sinc関数

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正規化sinc(青) と非正規化sinc(赤)。−6π ≤ x ≤ 6π

sinc 関数（シンクかんすう）は、正弦関数をその変数で割って得られる初等関数である。sinc(x), Sinc(x), sinc x などで表される。

[編集] 定義

sinc 関数は、正規化 sinc 関数と非正規化 sinc 関数という名で区別される、2種類の定義を持つ。

デジタル信号処理などでは、次の正規化 sinc 関数（標本化関数ともいう）が普通である。

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}.$
数学では、次の歴史的な非正規化 sinc 関数（カーディナル・サインともいう）が使われる。

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}.$

いずれの場合も、可除特異点である 0 での値が必要であればしばしば明示的に sinc(0) = 1 が定義として与えられる。sinc 関数はいたるところ解析的である。

[編集] sinc関数の性質

特にことわらないかぎり、正規化sinc関数について述べる。非正規化sinc関数は、スケール・ファクター $π$ が違うだけなので、非正規化sinc関数についての式を得るには、 $x \leftarrow x / \pi \,$ を代入すればいい。

[編集] 特殊値など

$\mathrm{sinc}(k) = \delta_{0k}, \mbox{ if } k \in \mathbb{Z}$

ただし、 $\mathbb{Z}$ は整数の集合、 $\delta_{ij}\,$ はクロネッカーのデルタ。

つまり、 $\mathrm{sinc}(0) = 1, \ \mathrm{sinc}(\pm 1) = \mathrm{sinc}(\pm 2) = \ldots = 0$ である。

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \mathrm{sinc}(x) = 0$
$\left. \frac{d}{dx}\frac{\sin x}{x} = 0 \right|_{x = a} \iff \frac{\sin a}{a} = \cos a$

[編集] フーリエ変換

$\mathrm{rect}(x) \leftrightarrow^\mathfrak{F} \mathrm{sinc}(\omega), \mbox{ where } \mathrm{rect}(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if } |x| \leq 1 / 2 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$

ただし、 $f(x) \leftrightarrow^\mathfrak{F} F(\omega)$ はフーリエ変換対、 $\mathrm{rect}(x)\,$ は（単位）矩形関数。つまり、矩形関数のフーリエ変換はsinc関数、sinc関数のフーリエ変換は矩形関数である。

[編集] テイラー展開

$\frac{\sin x}{x} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(-x)^k}{(2k + 1)!}$

[編集] 定積分

$\int_{0}^{\infty} \mathrm{sinc}(x) \, dx = \frac{\pi}{2}, \ \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}(x) \, dx = \pi$

$\int_{0}^{\infty} \mathrm{sinc}^2(x) \, dx = \frac{1}{2}, \ \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}^2(x) \, dx = 1 \quad \left(\mathrm{sinc}^2(x) = \{\mathrm{sinc}(x)\}^2 \right)$

$\int_{0}^{\infty} | \mathrm{sinc}(x) | \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} | \mathrm{sinc}(x) | \, dx = \infty$

[編集] 不定積分

$\mathrm{Si}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \, dt = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^k x^{2k+1} }{ (2k+1)(2k+1)! }$

（非正規化）sinc関数の不定積分を正弦積分と呼び、 $\mathrm{Si}(x) \,$ で表す。 $\mathrm{Si}(x) \,$ は特殊関数である。

[編集] 直交性

$\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}(x-i)\mathrm{sinc}(x-j) \, dx = \delta_{ij}, \mbox{ if } i, j \in \mathbb{Z}$

sinc関数の平行移動同士は直交する。

[編集] 他の関数との関係

$J_0(x) = \frac{\sin x}{x}$

ただし、 $J_0(x)\,$ は、0次の第1種ベッセル関数。

$\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\mathrm{sinc} \frac{x}{a} = \delta(x)$

ただし、 $\delta(x) \,$ はディラックのデルタ関数。

$\mathrm{sinc}(x) = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}$

ただし、 $\Gamma(x) \,$ はガンマ関数。

[編集] 無限積

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{k = 1}^{\infty} \cos \frac{x}{2k}$

$\mathrm{sinc}(x) = \prod_{k = 1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2} \right)$

[編集] 信号処理への応用

さまざまな用途が考えられるが、コンパクト・サポートでない（非0の値が有限区間に限定されていない）ため、非常に多くの計算量を要することが多い。有限長で計算をうち切らなければならないことも多く、無限長では生じない問題が発生することもある。概して、理論的背景やシミュレーションにとどまることが多い。

直交性と ±∞ での収束性から、直交ウェーブレット変換の基底に用いる。ただし、コンパクト・サポートでないため、計算量が O(N²)（ランダウの記号）で増える。これは、コンパクト・サポートな基底だと計算量が O(N) であることに比べ、大きなデメリットである。
フーリエ変換が矩形関数であることから、リサンプリングや内挿の補間カーネル（低域通過フィルタ）に用いる。無限系列では、sinc 関数は理想的な補間カーネルである。しかし、コンパクト・サポートでないことが問題になるため、実際には、sinc 関数に似たコンパクト・サポート関数である、3次畳み込み関数や、ランツォシュ・フィルタ（Lanczosフィルタ）などが使われることが多い。
矩形関数のフーリエ変換であることから、sinc 関数を使えば、理想的なD/A変換ができる。ただしこれは、重要な概念ではあるが、実際にこのやりかたで D/A 変換がなされるわけではない。

[編集] 関連項目

[編集] 外部リンク

シンク関数の数学的諸性質 - 佐藤郁郎
正弦積分 - 宮田重明（正弦積分のアルゴリズム）

カテゴリ: 信号処理 | 初等関数 | 数学に関する記事

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