Sinc-Funktion
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Der Sinus cardinalis, auch sinc-Funktion, Kardinalsinus oder Spaltfunktion ist eine mathematische Funktion, die zumeist als
definiert wird. An der hebbaren Singularität bei x=0 wird die Funktion durch den Grenzwert sinc(0)=1 fortgesetzt, der sich aus der Regel von L'Hospital ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben.
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[Bearbeiten] Hinweise
Neben sinc ist auch die Abkürzung si gebräuchlich. Sie darf nicht mit Si verwechselt werden, der Abkürzung für den Integralsinus. Der Integralsinus Si(x) ist die Stammfunktion von sinc(x).
Es besteht kein Konsens über die Definition der sinc-Funktion. Insbesondere in Informationstheorie und digitaler Signalverarbeitung wird die auf das Integral 1 normierte sinc-Funktion sinc(πx) als sinc(x) definiert. Bei Benutzung von Mathematiksoftware wie GNU Octave und Matlab ist deshalb erhöhte Vorsicht geboten.
[Bearbeiten] Darstellung als Fouriertransformierte der Rechteckfunktion
Der Sinus cardinalis ist die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion
![\mathrm{rect} \left(\frac{t}{\tau} \right) =\chi_{[-\tau/2,\tau/2]}(t)
:= \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases},](../../../../math/2/b/4/2b41acf867d9b3fdf5255ee301f31873.png)
denn es gilt
![\mathcal F(\chi_{[-\tau/2,\tau/2]})(\omega)
= \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-\mathrm{i} \omega t}\, \mathrm dt
= \frac1{\sqrt{2\pi}}\,\tau \,\mathrm{sinc} \left( \frac{\omega \tau}{2} \right)](../../../../math/9/8/8/98813e69a5ff8e6044ef9916eebc35e2.png)
.
Aus den Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass die sinc-Funktion beliebig oft stetig differenzierbar und analytisch ist. Aus der Plancherel-Identität der Fourier-Transformation folgt weiter, dass sie orthogonal zu Verschiebungen ihrer selbst um ganzzahlige Vielfache von π ist, es gilt
,
wobei δl,k das Kronecker-Delta bezeichnet.
Mit einer passenden Normierung bilden diese Verschiebungen der sinc-Funktion also ein Orthonormalsystem im Funktionenraum 
. Die Projektion auf den von den sinc(x − kπ) aufgespannten Unterraum ergibt sich als
.
Aufgrund der Interpolationseigenschaft gilt 
, also
.
Funktionen aus diesem Unterraum sind also durch ihre Werte an den Stellen 
eindeutig bestimmt.
Die Rechteckfunktion als Fouriertransformierte der sinc-Funktion hat beschränkten Träger, ist daher samt der Linearkombinationen ihrer Verschiebungen bandbeschränkt. Umgekehrt ist jede bandbeschränkte als eine solche Linearkombination darstellbar, und daher durch die Funktionswerte an den genannten Stützstellen eindeutig bestimmt. Das ist die Aussage des WKS-Abtasttheorems.
[Bearbeiten] Aufbaufunktion zur Signalrekonstruktion
Die sinc-Funktion hat insbesondere in der Signalverarbeitung eine große Bedeutung. Sie tritt in der sogenannten Samplingreihe (oder Kardinalreihe, E. T. Whittaker 1915) auf, mit Hilfe derer ein kontinuierliches bandbeschränktes Signal x aus seinen Abtastwerten x(kΔt) rekonstruiert bzw. eine beliebige Stützstellenfolge zu einem kontinuierlichen Signal fortgesetzt wird:
Diese ist die Interpolationsformel geringster Schwankung, d. h. das Frequenzspektrum ist beschränkt und hat die kleinstmögliche höchste (Kreis-)Frequenz 
bzw. Frequenz 
. Hat das Ausgangssignal Anteile höherer Frequenzen, so ist die Folge dieser Abtastwerte zu grobmaschig, die hochfrequenten Anteile werden in zusätzliche niederfrequente Anteile umgesetzt, d. h. es tritt Aliasing (Fehlzuordnung der Frequenzanteile) auf.
[Bearbeiten] Beugung am Spalt
Bei der Beugung von Wellen an einem Spalt bilden die Amplituden ein Beugungsmuster, das sich durch Fouriertransformation einer rechteckigen Öffnungsfunktion erklären lässt. Deshalb wird der Kardinalsinus auch als Spaltfunktion bezeichnet. Die bei der Beugung von Licht vom Auge wahrgenommene Helligkeitsverteilung ist allerdings das Quadrat der Wellenamplitude; sie folgt daher der quadrierten Funktion sinc2.
