מודל האטום של בוהר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מודל האטום של בוהר

מודל האטום של בוהר הוא מודל של מבנה האטום שהציע נילס בוהר בשנת 1913. זהו פיתוח של המודל הפלנטרי של האטום. כמו במודל הפלנטרי, האטום מתואר כגרעין הטעון מטען חשמלי חיובי, שמסביבו מסתובבים אלקטרונים במסלולים סגורים. התוספת של בוהר הייתה כי לא כל מסלול אפשרי, אלא רק מסלולים שבהם התנע הזוויתי של האלקטרונים מהווה כפולה שלמה של קבוע פלאנק המצומצם. המעבר בין מסלול למסלול הוא מיידי ומלווה בפליטה או בבליעה של פוטון - מנה (קוונטה) של קרינה אלקטרומגנטית.

הצלחת המודל נבעה בעיקר מהסברתו את נוסחת רידברג לחישוב קווי הפליטה, למרות שהנוסחה אוששה זה מכבר על ידי ניסוי, היא לא הוסברה תאורטית עד לפרסום מודל האטום של בוהר. כמו כן הסביר המודל את יציבות האטום (אי-הסברת העובדה הזו היא אחד החסרונות הגדולים של המודל הפלנטרי).

המודל מציג באופן פשטני את אטום המימן. הוא אינו נותן חיזוי מדויק למבנה של מולקולת המימן, שבה יש שני אטומים, ולא למבנה של אטומים כבדים יותר. המודל יכול להיחשב כאומדן של אטום המימן בהקשר הרחב והמדויק הרבה יותר במכניקת הקוונטים. בגלל הפשטות שבו הוא מוצג לסטודנטים כמבוא ללימוד מכניקת הקוונטים.

תוכן עניינים

1 היסטוריה
2 עקרונות היסוד של המודל
3 רמות האנרגיה של האלקטרון באטום מימן
- 3.1 ביטוי רמות האנרגיה בעזרת קבועים אחרים
4 נוסחת רידברג
5 עקרון הקוונטיזציה של זומרפלד - וילסון
6 ראו גם
7 לקריאה נוספת
8 הערות שוליים

[עריכה] היסטוריה

בתחילת המאה ה-20 הראו ניסויים שערכו ארנסט רתרפורד ואחרים כי האטום מורכב מגרעין הטעון במטען חיובי ומוקף אלקטרונים הטעונים במטען שלילי. בהתחשב בנתונים אלה, טבעי לחשוב על מודל דוגמת המודל הפלנטרי, בו האלקטרונים סובבים את הגרעין, אולם במודל זה ישנם מספר קשיים קריטיים שמונעים את קבלתו. הבעיה הגדולה מכולן היא אי-יציבותו של האטום על-פי מודל זה, בגלל העיקרון שקובע שמטענים המואצים (דוגמת האלקטרונים המסתובבים) פולטים קרינה אלקטרומגנטית ומאבדים אנרגיה על ידי כך. אם המודל הפלנטרי היה נכון, היה על האלקטרון להסתובב במסלול שרדיוסו הולך וקטן עד להתנגשות עם הגרעין. חישובים מראים שהתנגשות זו הייתה צריכה לקרות כמעט מיד, ולא היא.

זאת ועוד, המודל הפלנטרי אינו מסביר את ספקטרום הפליטה הנפלט מאטומים מעוררים חשמלית. בסוף המאה ה-19 הראו ניסויים שלכל סוג חומר יש ספקטרום פליטה ייחודי (רק אורכי גל מסוימים נפלטים מכל יסוד - הספקטרום הוא בדיד, כלומר קוונטי). המודל הפלנטרי אינו מסביר זאת.

על-מנת להתגבר על קשיים אלה הציע נילס בוהר ב-1913 תיקונים למודל הפלנטרי, המודל המשופר נודע היום בשם מודל האטום של בוהר.

[עריכה] עקרונות היסוד של המודל

האלקטרונים נעים בתנועה מעגלית^[1] סביב הגרעין. הם נתונים למשיכה החשמלית של הגרעין (לפי חוק קולון) ונמצאים בשיווי משקל בהתאם לחוקי המכניקה הקלאסית.
האלקטרונים אינם יכולים לנוע בכל מסלול מעגלי סביב הגרעין, אלא רק באלו בהם התנע הזוויתי של האלקטרונים הוא כפולה שלמה של קבוע פלאנק המצומצם (לכל תנע זוויתי נתון יש מסלול יחיד שמקיים שיווי משקל בין הכוח הצנטריפוגלי לכוח קולון): $L = n \cdot \hbar = n \cdot {h \over 2\pi}$
על אף שהאלקטרון מואץ בתנועה סיבובית, הוא איננו פולט קרינה (בניגוד לתחזית של תורת האלקטרומגנטיות של מקסוול, לפיה מטען מואץ פולט קרינה אלקטרומגנטית)
האלקטרון יכול לעבור בין מסלולים מותרים. בתהליך המעבר נקלטת או נפלטת קוונטה של קרינה אלקטרומגנטית - פוטון. הקרינה נקלטת עבור מעבר למסלול בו האנרגיה גדולה מהאנרגיה במסלול הנוכחי, ונפלטת עבור מעבר למסלול בו האנרגיה קטנה יותר.
תדירות הקרינה, $ν$ נקבעת על פי הפרש האנרגיה בין המסלולים השונים: $\nu=\frac{|E_i-E_j|}{h}$ .

[עריכה] רמות האנרגיה של האלקטרון באטום מימן

המודל של בוהר מדויק רק למערכת בעלת אלקטרון אחד, כמו אטום מימן או יון הליום בעל אלקטרון אחד. הכתוב מטה ישתמש במודל של בוהר כדי למצוא את רמות האנרגיה לאלקטרון באטום מימן.

נתחיל מההנחות הבסיסיות:

1) לכל החלקיקים יש תכונות גליות. אורך הגל של החלקיק

λ D B

תלוי בתנע שלו p כך ש:

$\lambda_{DB} = \frac{h}{p}$

כאשר h הוא קבוע פלאנק. בוהר לא הניח הנחה זו (הידועה כהשערת דה ברויי) כי היא לא הייתה מוצעת בזמנו. בכל מקרה, הנחה זו מאפשרת את המשך המהלך. אורך הגל של חלקיקים נקרא אורך גל דה ברויי, על-שם ההנחה המאפשרת אותו, כדי להבדיל אותו מאורך גל של גל אמיתי מוסיפים לסימון שלו DB.

2) היקף המסלול של האלקטרון חייב להיות שווה לאורך הגל שלו כפול מספר שלם:

$2 \pi r = n \lambda_{DB} \,$

כאשר r הוא רדיוס המסלול ו-n הוא מספר טבעי.

3) האלקטרון מוחזק במסלולו על ידי כוח הנובע מחוק קולון המהווה כוח צנטריפטלי:

$\frac{kq_e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \,$

כאשר

q e

הוא מטען האלקטרון,

m e

מייצג את מסת האלקטרון, v- את מהירות האלקטרון ו-k מייצג את קבוע קולון השווה ל 10⁹*9.

אלה שלוש משוואות עם שלושה נעלמים: $λ D B$ , r ו-v. לאחר שפותרים את מערכת המשוואות כדי למצוא ביטוי ל-v לבדו ואותו מציבים במשוואה למציאת האנרגייה הכוללת של האלקטרון
$E \,=E_{kinetic} + E_{potential}= \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}m_e v^2 - \frac{k q_e^2}{r} = -\frac{k q_e^2}{2r}$
החלפה שתשמר את הערכים הייחודיים לאטום מימן, תיתן לנו

$E_n = -2 \pi^2 k^2 \left( \frac{m_e q_e^4}{h^2} \right) \frac{1}{n^2}= \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,$

לאחר החלפת הקבועים במספרים נקבל:

$E_n = \frac{-13.6 \ \mathrm{eV}}{n^2} \,$

יוצא שאנרגיית האלקטרון ברמה הכי נמוכה (n=1) באטום מימן היא 13.6eV-, ברמה מעליה (n=2) אנרגיית האלקטרון היא 3.4eV- וכך הלאה. האנרגיה השלילית מבטאת את העובדה שהאלקטרון קשור לפרוטון. אנרגיה חיובית תתאר אלקטרון חופשי המתאים למצב של יון.

[עריכה] ביטוי רמות האנרגיה בעזרת קבועים אחרים

נתחיל ממה שמצאנו למעלה:

$E_n = \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,$

לאחר הכפלת אגפי המשוואה ב-c² וסידורה נראה ש:

$E_n = -\frac{1}{2} m_e c^2 \left(\frac{q_e^4}{4 h^2 c^2 \epsilon_{0}^2} \right) \frac{1}{n^2}$

משום שהאנרגיה של חלקיק במנוחה היא $E = m c 2$ , ניתן לכתוב את אנרגיית האלקטרון באופן כללי בעזרת קבועים אחרים:

$E_n = \frac{-E_r\alpha^2}{2n^2}$

כאשר:

$E_n \$ מייצג את אנרגיית האלקטרון ברמת האנרגיה n.

$E_r \$ זו אנרגיית האלקטרון במנוחה.

$n \$ הוא מספר טבעי המייצג את מספר רמת האנרגיה.

$\alpha \$ הוא קבוע המבנה העדין השווה ל $\frac{q_e^2}{2 h c \epsilon_{0}}$ .

[עריכה] נוסחת רידברג

בשנת 1890, לפני פרסום המודל של בוהר, הציע יוהנס רידברג נוסחה למציאת הספקטרום של אטום מימן (כלומר רמות האנרגיה), אך נוסחה זו לא הייתה מוסברת, עד הצעת מודל בוהר שמספק הסבר תאורטי.

כעת נפתח את הנוסחא מתוך מודל בוהר, אם נשתמש בנוסחה שפיתחנו לרמות האנרגייה באטום מימן, נוכל למצוא את אורך הגל של הפוטונים שאטום מימן יכול לפלוט.

את הנוסחת נפתח מהשוואה בין הפרש האנרגיות של האלקטרון:

$E=E_i-E_f= \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n_{i}^2} - \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n_{f}^2} =\frac{m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,$

לבין הנוסחה למציאת אנרגיה של פוטון:

$E=\frac{hc}{\lambda} \,$

נפשט ונמצא ביטוי לאורך הגל של הפוטון על ידי:

$\frac{1}{\lambda}=\frac{m_e q_e^4}{8 c h^3 \epsilon_{0}^2} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,$

הביטוי האחרון ידוע כנוסחת רידברג, כאשר כל הקבועים מצוינים בתור קבוע יחיד R הנקרא "קבוע רידברג". הנוסחה הייתה ידעה כבר במאה ה-19 למדענים שעסקו בספקטרוסקופיה, אך עד פרסום מודל האטום של בוהר לא הייתה לה שום תמיכה תאורטית.

רידברג לא היה הראשון שנתן נוסחה שחוזה את הספקטרום של אטום המימן, היה זה ג'ואן באלמר, שרשם כבר ב- 1885 נוסחה מתמטית שנותנת תחזית לספקטרום הפליטה של אטום מימן, ההבדל בינו לבין רידברג היה שבאלמר עבד באורכי גל בעוד שרידברג עבד במספרי גל שהם פורפורציוניים לאנרגיה, ולכן נוחים יותר.

[עריכה] עקרון הקוונטיזציה של זומרפלד - וילסון

מסלולים אליפטיים במרחב הפאזה

לאחר שבוהר נתן את המודל שלו לאטום המימן עולם הפיזיקה נשאר מעט מבולבל, אומנם הוא תאם תצפיות ניסיוניות באופן מדויק, אבל לא היה הסבר מספק למקור שלו ולחוקיות שלו.

על מנת לשפוך אור על המודל ולאפשר יישום שלו על מערכות פיזיקליות אחרות פיתחו שני פיזיקאים (וילסון וזומרפלד) עקרון קוונטיזציה למערכות פיזיקליות.

העיקרון הוא שלכל מערכת בה יש משתנה מחזורי (קפיץ, מטוטלת, וכו') האינטגרל של התנע הצמוד לקורדינאטה זו (הנגזרת של הלגראנז'יאן לפי הנגזרת בזמן של הקורדינאטה) על גבי מחזור שלם שווה לכפולה שלמה של קבוע פלאנק:

$\oint p dq = nh$

מתוך עקרון זה ניתן לקבל את הנחת היסוד השניה של מודל בוהר, לפיה התנע הזוויתי של האלקטרון במסלולו (באטום המימן) הוא כפולה שלמה של קבוע פלאנק לחלק ב- $2π$ כלומר עקרון זה הוא הכללה מסוימת של מודל בוהר. ניתן גם לקבל קוונטיזציה של רמות האנרגיה באוסצילטור הרמוני קוונטי:

$E_n = \hbar \omega n$ , תוצאה שהיא נכונה עד כדי $\frac{1}{2} \hbar \omega$ , רמת האפס של אוסצילטור הרמוני.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] לקריאה נוספת

פליקס דותן, אל הכוכבים – מאטומים עד חורים שחורים , הוצאת מאגנס, 2001, פרק 7 עמ' 129-178.

[עריכה] הערות שוליים

^ קיימת הרחבה של מודל בוהר המאפשרת תנועה במסלולים אליפטיים.

קטגוריות: פיזיקה אטומית | מכניקת הקוונטים

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

מודל האטום של בוהר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] היסטוריה

[עריכה] עקרונות היסוד של המודל

[עריכה] רמות האנרגיה של האלקטרון באטום מימן

[עריכה] ביטוי רמות האנרגיה בעזרת קבועים אחרים

[עריכה] נוסחת רידברג

[עריכה] עקרון הקוונטיזציה של זומרפלד - וילסון

[עריכה] ראו גם

[עריכה] לקריאה נוספת

[עריכה] הערות שוליים

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות