המודל הפלנטרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המודל הפלנטרי הנו מודל שהוצג על ידי ארנסט רתרפורד לתיאור האטום לאחר ניסוי רתרפורד שהפריך את מודל עוגת הצימוקים. במודל זה הוצג לראשונה הרעיון של גרעין האטום.

המודל הפלנטרי מדמה את האטום למערכת השמש שלנו, על-פי המודל ההליוצנטרי המקובל כיום. רוב חללו של האטום הוא ריק. במרכז האטום נמצא גרעין האטום, בו כלואים הפרוטונים והניוטרונים, ובו נמצאת רב המסה של האטום. סביב גרעין מסיבי זה מסתובבים האלקטרונים במסלולים דומים למסלולי כוכבי הלכת במערכת השמש. שלא כמו במערכת פלנטרית הכח העיקרי המחזיק את האלקטרונים אינו כח הכבידה אלא הכח החשמלי (בין החלקיקים באטום יש כוחות של כבידה, אלא שהשפעתם זניחה בסדרי גודל רבים ביחס להשפעת הכוחות האחרים).

מבנה זה מסביר באופן מלא את תוצאות ניסוי הפיזור של רתרפורד, אך במודל זה קיימת בעיה עיקרית והיא שהמודל לא מאפשר יציבות של האטום, וזאת מכיוון שכאשר מטען חשמלי מאיץ הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית, ומאבד אנרגיה. כיוון שגם בתנועה סיבובית במהירות קבועה יש תאוצה (תאוצה רדיאלית), האלקטרונים כל הזמן יאבדו אנרגיה ויתנגשו בגרעין תוך פרק זמן קצר מאוד.

עם פיתוח תורת הקוונטים הוצגו לצורך מניעת ה"קטסטרופה" הזו רמות אנרגיה המתירות לאלקטרונים אך ורק רמות אנרגיות בדידות, וגויס עקרון האיסור של פאולי לצורך מניעת האלקטרונים מליפול כולם לרמה התחתונה.

[עריכה] ניתוח המודל

כדי לנתח את המודל, המבוסס על פיזיקה קלסית, משתמשים במכניקה ניוטונית ובאלקטרומגנטיות:

לגוף הנע בתאוצה רדיאלית ידוע כי מתקיים $a = \frac {v^2}{r}$ .
הכוח החשמלי אשר צריך להחזיק את האלקטרון בתנועתו סביב הגרעין: $F = \frac{k e^2}{r^2}$ .

נציב שתי משוואות אלו לתוך חוק ניוטון השני ( $\ F = ma$ ) ונקבל את הקשר: $\frac {k e^2} {r^2} = \frac {m_e v^2} {r}$ או $\frac {k e^2} {r} = {m_e v^2}$ .

מהצבה לתוך ביטוי האנרגיה הכוללת של האלקטרון: $E = E_k + E_p = \frac{m_e v^2} {2} - \frac {k e^2} {r} = -\frac {k e^2} {2r}$

קשר זה מכיל גדלים שניתן היה להעריך בתקופה בה הוצע המודל, כאשר ידוע כי עבור אטום המימן אנרגיית הינון היא בקרוב $\ E= 13.6eV$ , וכי רדיוס האטום הוא בקרוב $\ R = 0.529 A$ . הקשר שהתקבל מתאים לגדלים מדודים אלו, ומראה על הצלחה מסוימת של המודל.

למול הצלחה זו מגיע כישלון, המתבטא בהערכת זמן הקריסה של האלקטרון לתוך הגרעין. קריסה זו נובעת מפליטת האנרגיה של גוף טעון במטען אלקטרומגנטי המאיץ. קצב פליטת האנרגייה של גוף בתאוצה הוא: $\frac {dE} {dt} = \frac {2 k e^2 a^2} {3 c^3}$

מהצבת ביטוי האנרגיה שהתקבל למשוואה זו, ובשינוי סדר של האיברים מקבלים: $\frac {k e^2} {2 r^2} \frac {dr} {dt} = \frac {2 k e^2} {3 c^3} \left (\frac {k e^2} {m_e r^2} \right )^2$ זהו מד"ר ב-r ו-t אשר פתרונו מניב את הקשר: $t = \frac {m_e^2 c^3 k^2 e^4}{32 |E|}$ .

מהצבת אנרגיית הינון של אטום המימן $\ E= 13.6eV$ ושאר הגדלים הידועים (מהירות האור, מסת האלקטרון וכו') מתקבל כי זמן הקריסה המוערך הוא: $t < 2 \times 10^-11 sec$ . ידוע לנו כי אטום המימן הוא אטום יציב וכאן מתקיימת סתירה.