התייחסות עצמית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

התייחסות עצמית היא תופעה, בשפה טבעית או מתוכננת, שבה משפט מתייחס אל עצמו, במישרין או בעקיפין.

התייחסות עצמית עומדת בבסיסם של פרדוקסים רבים, שלחלק מהם תפקיד חשוב בפילוסופיה ובמתמטיקה. התייחסות עצמית משחקת תפקיד חשוב במדעי המחשב, הן בצד התאורטי והן בצד התכנותי (רקורסיה), היא עומדת בבסיסם של פרקטלים רבים, ומשחקת תפקיד מרכזי גם באמנות, וכן בשעשועים לשוניים ומתמטיים רבים.

באומנות המונח "ארס פואטיקה" מתאר יצירות המתייחסות לעצמן, וישנן דוגמאות רבות לכך בשירה, בפרוזה בציור ובפיסול.

תוכן עניינים 1 התייחסות עצמית בפילוסופיה 1.1 פרדוקס השקרן 1.2 ה'קוגיטו' של דקרט 1.3 קיומו ואי קיומו של אלוהים 1.4 משפט האי-שלמות של גדל 2 התייחסות עצמית במתמטיקה ופיזיקה 2.1 תורת הקבוצות 2.2 פרקטלים 3 התייחסות עצמית במדעי המחשב 3.1 רקורסיה 3.2 בעיית העצירה 4 התייחסות עצמית באמנות 4.1 אמנות חזותית 4.2 ספרות 4.3 קולנוע 4.4 מוזיקה 4.5 הומור 5 שעשועים העוסקים בהתייחסות עצמית 6 ראו גם 7 לקריאה נוספת

[עריכה] התייחסות עצמית בפילוסופיה

[עריכה] פרדוקס השקרן

פרדוקס השקרן סובב סביב המשפט: "המשפט הזה הוא שקר". הפרדוקס טמון בכך שהמשפט הנ"ל לא יכול להיות אמת (שכן אז לפי המשפט הוא שקר), ולא יכול להיות שקר. לפרדוקס זה חשיבות רבה בלוגיקה, משום שהוא מצריך בחינה מחודשת של המושגים 'משפט', 'אמת' ו'שקר'. דרך אחת לפתור את הפרדוקס היא להגדיר בצורה מדוקדקת מהם משפטים בצורה של שלבים: משפטים רגילים מדברים על עצמים, ישנם מטה-משפטים: שהם משפטים שמדברים על משפטים רגילים, מטה-מטה משפטים: משפטים שמדברים על מטה-משפטים וכך הלאה. בבנייה כזאת לא ניתן לבנות משפט המתייחס לעצמו ולכן הפרדוקס נמנע. אפשרות אחרת להתמודדות עם המשפט היא בלוגיקה שברית: למונח 'אמת' מייחסים את הערך 1, למונח 'שקר' מייחסים את הערך 0, וערך של משפט יכול להיות 0,1 או כל מספר ביניהם. כך, למשל, הערך של "המשפט הזה הוא שקר" הוא 0.5.

לפרדוקס השקרן וריאציות רבות בלוגיקה, במתמטיקה ובמדעי המחשב.

[עריכה] ה'קוגיטו' של דקרט

הפילוסופיה המודרנית בכלל והפילוסופיה של המדע בפרט מבוססת במידה רבה על שיטתו הפילוסופית של רנה דקארט. השלב הראשון של משנתו היה ניסיון להטיל ספק בכל דבר, על מנת שיוכל לבסס את הפילוסופיה על הנחות יסוד ודאיות. הדבר היחיד שבו לא היה יכול להטיל ספק, הייתה העובדה שהוא מטיל ספק; מכאן המשיך דקארט והסיק את קיומו הוא. את המהלך הלוגי ניסח דקארט באמרתו הידועה 'קוגיטו ארגו סום' ('אני חושב, משמע אני קיים'; מכונה בקיצור ה'קוגיטו' של דקארט). משפט זה מכיל התייחסות עצמית עקיפה, שכן הטענה 'אני חושב' נגזרת מעצם יכולתו של דקארט לנסח את הטענה.

[עריכה] קיומו ואי קיומו של אלוהים

הטיעון האונטולוגי הוא סוגיה חשובה בפילוסופיה, העוסקת בשאלת קיומו או אי קיומו של אלוהים. במשך השנים הובאו הוכחות רבות לכאן ולכאן, ובחלק מהן נעשה שימוש בהתייחסות עצמית. להלן דוגמה להוכחה כזו לאי קיומו של אלוהים:

"אלוהים הוא כל יכול, מכאן שהוא יכול לברוא אבן שאותה הוא לא יכול לשבור. אבל זאת סתירה - שכן מכאן משתמע שאלוהים איננו כל יכול: או שהוא לא יכול לברוא אבן כזאת, או שקיימים דברים שאלוהים איננו יכול לשבור."

הוכחה זו משתמשת בהתייחסות עצמית, שכן הגדרת האובייקט שיוצר את הסתירה (אבן שאלוהים לא יכול לשבור) מתבססת על התכונה שמנסים לסתור (היותו של אלוהים כל יכול).

[עריכה] משפט האי-שלמות של גדל

העיסוק בשאלה 'מהי אמת' העסיק את הפילוסופיה במשך אלפי שנים, וסביבו מבוסס ענף הלוגיקה. במאה ה-20 נוסתה גישה חדשה לשאלה העתיקה הזאת, בניסיון לזהות משפט נכון כמשפט בר הוכחה. הרעיון, הקרוי 'הפרוגרמה של הילברט', היה לנסח בצורה פשוטה את האקסיומות הבסיסיות ואת הדרכים להגיע ממשפט נכון אחד לאחר. באופן זה ניתן, למשל באמצעות תוכנת מחשב, לייצר משפט נכון אחד אחר קודמו, ובאופן תאורטי לפחות, לייצר את כל המשפטים הנכונים. באופן זה ניתן להגדיר בצורה מדויקת מהו משפט נכון.

הפרוגרמה הזאת נחלה מפלה ניצחת בזכות עבודותיו של הלוגיקאי קורט גדל. גדל הצליח להראות שישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיח אותם. ההוכחה של גדל, הנקראת משפטי האי שלמות של גדל מבוססת על וריאציה של פרדוקס השקרן. היא מבוססת על כך שניתן להצמיד לכל משפט מספר. באופן זה משפטים במתמטיקה המתייחסים למספרים, ניתן לראות אותם גם כמשפטים המתייחסים למשפטים אחרים, ובפרט ניתן ליצור משפט המתייחס לעצמו. באופן זה הצליח גדל ליצור את המשפט 'המשפט הזה אינו בר הוכחה', וליצור פרדוקס.

[עריכה] התייחסות עצמית במתמטיקה ופיזיקה

[עריכה] תורת הקבוצות

בשנת 1901 הציג הפילוסוף והמתמטיקאי האנגלי ברטרנד ראסל את הפרדוקס של ראסל: נבנה קבוצה המכילה את כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן. בנייה זאת היא פרדוקסלית מכיוון שקבוצה זו איננה יכולה להכיל את עצמה, ואיננה יכולה שלא להכיל את עצמה, ומכאן שקבוצה זו אינה יכולה להתקיים. פרדוקס זה הביא לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית שבה המושג קבוצה מוגדר בצורה שיטתית ולא מאפשר לקבוצה להכיל את עצמה.

[עריכה] פרקטלים

פרקטלים הם צורות בעלות דמיון עצמי. לדוגמה משולש סרפינסקי (הנראה באיור) מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו (וכל אחד מהם מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו, עד אינסוף). אלו החלו להתגלות לקראת סוף המאה ה-19, ושמם ניתן להם על ידי בנואה מנדלברוט. אחת התכונות המעניינות בצורות הללו היא שהממד שלהן אינו שלם. לצורות רבות בטבע, כגון עלים, קווי חוף, פסגות הרים ועוד, יש מבנה פרקטלי.

לפרקטלים ודמיון עצמי שלהם חשיבות רבה בתחומים שונים של הפיזיקה. תורת הרנורמליזציה המשמשת בעיקר לתיאור מעברי פאזה, מבוססת על מערכות המציגות דמיון עצמי. על-פי התורה, כאשר למערכת יש דמיון עצמי, ניתן לתאר התנהגויות שונות של המערכת באמצעות כללי חזקה. דמיון עצמי ופרקטלים משחקים תפקיד חשוב גם בתורת הכאוס.

[עריכה] התייחסות עצמית במדעי המחשב

[עריכה] רקורסיה

בתכנות, רקורסיה מתארת תוכנת מחשב הקוראת לעצמה. דוגמה נפוצה לשימוש ברקורסיה היא פתרון חידת מגדלי האנוי. כדי להעביר מגדל של n דיסקיות התוכנה קוראת לעצמה על מנת להעביר את n-1 הדיסקיות העליונות מהמגדל הראשון לשלישי, אחר כך מעבירה את הדיסקית התחתונה מהמגדל השני לראשון, ולבסוף קוראת לעצמה על מנת להעביר את n-1 הדיסקיות מהמגדל השלישי אל המגדל השני.

בשיטות רקורסיביות נעשה שימוש רב גם בציור של צורות פרקטליות.

[עריכה] בעיית העצירה

המתמטיקאי האנגלי אלן טיורינג, שהניח את היסודות לתורת החישוביות, הצליח להשתמש בהתייחסות עצמית על מנת להראות שבעיית העצירה איננה פתירה. תורת החישוביות עוסקת במודלים לחישוב ובפונקציות הניתנות לחישוב במסגרתם. בעיית העצירה היא אחת הבעיות המרכזיות בתחום, והיא שואלת האם בהינתן תוכנת מחשב, יכולה תוכנת מחשב אחרת לבדוק אותה בזמן סופי ולקבוע האם התוכנה אי פעם תעצור. טיורינג הצליח לבנות אנלוג של פרדוקס השקרן אל הבעיה הזאת, ובכך להראות שהיא איננה פתירה.

[עריכה] התייחסות עצמית באמנות

התייחסות עצמית משמשת ככלי חשוב בתחומי אמנות רבים, בדרך כלל למילוי אחת משתי מטרות: יצירת דיון פילוסופי בשאלות הנוגעות לאמנות או יצירת אפקט הומוריסטי ופארודי. התייחסות עצמית שונה מארס פואטיקה בכך שהיא מתייחסת רק ליצירות המתייחסות ישירות לעצמן ולא ליצירות המתייחסות ליצירות אמנות אחרות או לאמנות באופן כללי.

[עריכה] אמנות חזותית

• באמנות מודרנית, במיוחד אמנות מופשטת, דנים רבות בסוגיית הגדרת האמנות ובשאלה מה הופך יצירה לאמנות, בין השאר בעקבות אמני רדי מייד, שנטלו חפצים פרוזאיים והציבו אותם במוזיאון. יש מבקרים הטוענים שבכך שהיצירה מעלה את השאלה, "האם אני אמנות?" הופכת היצירה לאומנות.
• הצייר מוריץ קורנליס אשר עסק רבות בנושא ההתייחסות העצמית. התמונה המופרסמת ביותר שלו בהקשר זה, "ידיים רושמות", מתארת ידיים שכל אחת מהן אוחזת בעיפרון ומשרטטת את קווי המתאר של היד האחרת, ושתיהן ביחד מציירות את היצירה "ידיים רושמות". בתמונות אחרות שלו ניתן לראות השתקפות בראי של האמן בעודו מצייר את עצמו משתקף בראי.
• בציור בגידת הדימויים של רנה מגריט מופיע בתחתית ציור של מקטרת המשפט 'זו אינה מקטרת'. בהתייחסות עצמית זו כוונת האמן שזו אינה מקטרת אלא ציור של מקטרת.

[עריכה] ספרות

• בחלקו השני של דון קיחוטה לסרוונטס מוצא עצמו דון קיחוטה מתהלך בעולם כשהוא כבר מוכר על ידי הבריות כגיבור ספרותי לאחר פרסום חלקו הראשון של הספר. באמצעות דיאלוגים בין קיחוטה לדמויות אחרות אודות הספר וגיבורו, דן המחבר בסוגיות ההשפעה הספרותית של סוגת הרומן וגיבורה. הברקה זאת של סרוונטס היא אחת הסיבות לכך שהספר נחשב לרומן המודרני הראשון.
• ספרו של איטלו קאלווינו "אם בלילה חורפי עובר אורח" מתחיל בפנייה לקורא, המתייחסת ישירות לספר עצמו.
• ספריו האחרונים של רוברט היינליין כוללים התייחסויות של דמויות אליו, כסופר הכותב אודותיהן.

[עריכה] קולנוע

• בסרט "אדפטיישן" מתואר ניסיונו של התסריטאי צ'רלי קאופמן לכתוב תסריט לסרט, שהתברר כסרט "אדפטיישן" עצמו.
• בסרט "שיגעון בחלל" נעשה מספר פעמים שימוש בהתייחסות עצמית: בין השאר, צופים ה'רעים' בקלטת של הסרט עצמו כדי לאתר את הגיבורים הנמלטים, והדמות 'יוגורט' מציגה סדרה של מוצרי צריכה המשתמשים בסרט כמנוף לפרסום (מרצ'נדייזינג).
• בסרט "סודי ביותר" אומרת אחת הדמויות כי נראה כאלו הם נמצאים בסצנה הלקוחה מסרט גרוע, ואז מביטים היא ובן שיחה אל המצלמה ומשפילים את המבט, כמו מתוך הבנה כי זהו אכן המצב. גרסה לסצינה זו מופיעה גם בסרט "ג'יי ובוב השקט מכים שנית".
• בסצנת הפתיחה של סרט הקולנוע משפחת סימפסון, המשפחה יושבת בבית קולנוע וצופה בסרט קולנוע המבוסס על סדרת הטלוויזיה האהובה עליהם, כאשר לפתע קם הומר סימפסון ומוחה על כך שהם שילמו מחיר של כרטיס קולנוע מלא בשביל לראות סדרה שאותה הם רואים חינם על מסך הטלוויזיה שלהם בבית מדי ערב.

[עריכה] מוזיקה

• שירם של שב"ק ס' "תתקעו בחצוצרה" (מתוך אלבומם בעטיפה של ממתק) רווי התייחסויות עצמיות, כגון: "אתם מאזינים לשיר מקום ראשון במצעד הפזמונים"; "כן זהו השיר החדש של השבק"; "זה שיר ממש גדול".
• "שיר אהבה פשוט" מאת איה כורם ובביצועה, מעיד על עצמו: "זה שיר אהבה פשוט, פשוט שיר אהבה".

[עריכה] הומור

• הזמר הפארודי וירד אל ינקוביק יצר פרדוקס באמצעות התייחסות עצמית בשיר ההומוריסטי This song is just six words long (שבע מלים).
• "המוציא דבר קללה מפיו, ינעל אבי אבי אביו" (מתוך המערכון "שוק הספרים" של הגשש החיוור).
• "מיליון פעם אמרתי: 'לא להגזים'" - קביעתו של הדובר "מיליון פעם אמרתי" היא הגזמה, הנמצאת בסתירה להמשך דבריו "לא להגזים".
• * המילה חם הינה למעשה ראשי תיבות של חם מאוד.

[עריכה] שעשועים העוסקים בהתייחסות עצמית

נוסף על התחומים החשובים שבהם התייחסות עצמית משחקת תפקיד, ריתק הנושא מאז ומתמיד חידונאים ואנשים העוסקים בשעשועים לשוניים ומתמטיים. כתוצאה נוצרו מגוון משפטים הומוריסטיים וחידות המשתמשים בהתייחסות עצמית כדי ליצור פרדוקסים משעשעים. במקרים רבים, מדובר ביישום כלשהו של אחד הפרדוקסים הלוגיים או המתמטיים העוסקים בהתייחסות עצמית (כגון פרדוקס השקרן או הפרדוקס של ראסל). לדוגמה:

• פרדוקס בוחן הפתע המורה מכריזה "בשבוע הבא יתקיים בוחן והוא יבוא בהפתעה". התלמידים חושבים, ומגיעים למסקנה שבוחן הפתע לא יכול להתרחש ביום שישי, מכיוון שאחרת כאשר יום חמישי ועדיין לא היה להם בוחן, אזי הוא צריך להתקיים למחרת ולכן הוא לא יבוא כהפתעה. מכאן שהבוחן גם לא יכול להתרחש ביום חמישי, אחרת ביום רביעי בערב הם יוכלו לדעת שמכיוון שהבוחן לא קרה עד עכשיו, ומכיוון שהוא לא יכול להתרחש ביום שישי, אזי הוא חייב להתרחש ביום חמישי, אבל אז אם הוא אכן מתרחש ביום חמישי אזי הבוחן לא מגיע כהפתעה. מכאן שהבוחן לא יכול להתרחש ביום חמישי. ניתן להמשיך את ההוכחה ולהראות שהבוחן לא יכול להתקיים באף יום אחר בשבוע. לכן התלמידים מגיעים למסקנה שהבוחן לא יכול להתרחש בשבוע הבא, וכאשר המורה נותנת להם בוחן ביום שלישי, הם מופתעים!
• הפרדוקס של ברי: "מהו המספר הקטן ביותר שאינו ניתן לתאור באמצעות פחות ממאה אותיות?", ההגדרה הזאת מהווה תיאור של אותו מספר בפחות ממאה אותיות!
• "לכל כלל יש יוצא מן הכלל" - וכלל זה, האם יש לו יוצא מן הכלל?
• "כל ההכללות שגויות" או "כולם עושים הכללות"
• דף שמצדו האחד כתוב "המשפט על צדו האחר של הדף שגוי" ועל צדו השני "המשפט על צדו האחר של הדף נכון"
• ערך זה מתייחס לעצמו.

[עריכה] ראו גם

• רקורסיה
• דמיון עצמי
• פרדוקס
• לולאה מוזרה
• חוק הופשטטר

[עריכה] לקריאה נוספת

• דגלאס הופשטטר, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid‏ , 1980.