Wurfparabel

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Als Wurfparabel bezeichnet man die Flugbahn, die ein geworfener Körper in einem Schwerefeld beschreibt, wenn man den Einfluss des Luftwiderstands vernachlässigt (z. B. bei niedrigen Geschwindigkeiten und kompakten Körpern oder im Vakuum). Der Scheitel der Parabel befindet sich dabei am höchsten Punkt der Flugbahn, die Parabel ist nach unten geöffnet.

Die Ballistische Kurve ist die von der idealen Wurfparabel abweichende Kurve unter Einfluss des Luftwiderstandes. Die Wurfparabel ist die Idealisierung (Physik) der ballistischen Flugbahn.

Unterschied zwischen Ballistischer Flugbahn und Parabel bei 150 m/s und 70°

Inhaltsverzeichnis

1 Wurfparabel ohne Luftwiderstand
2 Ballistische Kurve (mit Luftwiderstand)
3 Siehe auch
4 Weblinks

[Bearbeiten] Wurfparabel ohne Luftwiderstand

Grund für die Parabelform ist die Tatsache, dass während des Fluges nur die Schwerkraft auf den Körper einwirkt. Zur Berechnung wird die Anfangsgeschwindigkeit in die zueinander senkrechten Komponenten x und y zerlegt, die unabhängig voneinander behandelt werden können. Die horizontale x-Komponente ist völlig unabhängig von der vertikalen y-Komponente, die nach oben gerichtet sei. Das hat folgende Konsequenzen:

In horizontaler Richtung fliegt der Körper nach dem ersten Newtonschen Gesetz mit konstanter Geschwindigkeit v_x dahin, da in dieser Richtung keine Kraft auf ihn wirkt; bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich die Entfernung linear mit der Zeit. Für diese Entfernung gilt die Formel

$x = v_x \cdot t$

In vertikaler Richtung bewirkt die Schwerkraft eine konstante Beschleunigung nach unten, nämlich die Schwerebeschleunigung g = 9,81 m/s². Geschwindigkeit v_y und Ort y ändern sich nach den Formeln

$v_y = v_{y(\mathrm{Start})} - g \cdot t$

$y = v_{y(\mathrm{Start})} \cdot t - 0{,}5 \cdot g \cdot t^2$

[Bearbeiten] Mathematische Beschreibung

Der Körper werde mit einer Geschwindigkeit v₀ unter dem Winkel $β$ schräg nach oben geworfen. Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten, aus denen die Abwurfgeschwindigkeit durch lineare Superposition zusammengesetzt ist (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes):

horizontal: horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit

$x(t) = v_{0} t \cdot \cos\beta$

vertikal: vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit plus Geschwindigkeitsänderung durch konstante Beschleunigung

$y(t) = v_{0} t \cdot \sin\beta -\frac{1}{2} g t^2$

Die vektorielle Bahngleichung lautet dann:

$\vec{r}(t) = (x(t), y(t)) = \left(v_0 t \cdot \cos\beta, v_0 t \cdot\sin \beta -\frac{1}{2} g t^2\right)$

Die explizite Bahngleichung im Ortsraum (auflösen von x(t) nach t und in y(t) einsetzen) lautet:

$y(x) = \tan\beta\cdot x - \frac{g}{2{v_0}^2 \cdot \cos^2\beta}x^2$

(Bedeutung der weiteren Variablen: t ist die Zeit, g ist die Schwerebeschleunigung)

[Bearbeiten] Reichweite

Wenn der Körper seine maximale Reichweite R erreicht hat, befindet er sich wieder auf seiner Ausgangshöhe, d. h. $y (R) = 0$ . Nun kann man die Bewegungsgleichung nach R auflösen und erhält:

$R = \frac{{v_0}^2}{g}\sin(2 \cdot \beta)$

[Bearbeiten] Maximale Weite

Da die Sinusfunktion bei $90^\circ$ ihren größten Wert $\sin90^\circ = 1$ hat, erreicht man die größte Reichweite bei $\beta = 45^\circ$

[Bearbeiten] Scheitel

Der Scheitelpunkt wird erreicht, wenn die vertikale Geschwindigkeitskomponente ihren Nulldurchgang hat, d. h. wenn sich eine zuerst nach oben gerichtete Bewegung umkehrt in eine nach unten gerichtete Bewegung. Wenn der Wurf nach oben gerichtet war, dann ist die Schwerebeschleunigung entgegengesetzt zur vertikalen Bewegungsrichtung des Körpers und wirkt dann nicht beschleunigend, sondern verzögernd, bis sie ihn fast (ganz Null wird nicht erreicht) auf Null abgebremst hat und anschließend nach unten weiter beschleunigt. Im Scheitelpunkt wurde also die gesamte kinetische Energie (in vertikaler Richtung) umgesetzt in potentielle Energie.

Den Scheitel kann man berechnen, da der Wurf eine Parabelform hat, und der Scheitel somit zwischen den Nullstellen 0 und R liegt. Der Scheitel hat also die x-Koordinate $\frac{1}{2} \cdot R$ Die y-Koordinate erhält man durch die Bewegungsgleichung.

Aufgelöst, hat der Scheitel folgende Koordinaten:

$x_\mathrm{S} = \frac{1}{2} \cdot \sin (2\beta) \cdot \frac{v_0^2}{g} = \sin (\beta) \cdot \cos (\beta) \cdot \frac{v_0^2}{g}$

$y_\mathrm{S} = \sin^2 (\beta) \cdot \frac{v_0^2}{2g}$

[Bearbeiten] Erläuterung an einem Beispiel

Wurfparabel mit Höhen- und Zeitskala (Wurf mit ~36 m/s unter 63°, Aufprall ohne Atmosphäre nach 8 Sekunden).

Wäre weder Gravitation noch Luftwiderstand vorhanden, würde der Körper in der anfänglichen Richtung und Geschwindigkeit (roter Pfeil) weiterfliegen (Trägheitsprinzip).

Das Erdschwerefeld lenkt den Körper jedoch nach unten ab – und zwar mit der Zeit $t$ quadratisch zunehmend:

Nach 1 Sekunde liegt die tatsächliche Flugbahn um knapp 5 Meter tiefer als die Tangente am Ausgangspunkt (Abwurfpunkt),
nach 2 Sekunden um das 4-fache (etwa 20 Meter),
nach 3 Sekunden 45 Meter, nach 4s 80 m usw. (Schwerebeschleunigung von 9,81 auf 10 m/s² gerundet).

[Bearbeiten] Senkrechter Wurf

Der Senkrechte Wurf ist ein wichtiger Spezialfall der Wurfparabel. Er lässt sich in zwei verschiedene Wurfrichtungen ausführen - nach oben (gegen die Schwerebeschleunigung) und nach unten (mit der Schwerebeschleunigung).

Der senkrechte Wurf nach oben entspricht einer ungestörten Überlagerung von geradlinig, gleichförmiger Bewegung nach oben und dem freien Fall nach unten. Wenn man dies in einer Grafik darstellt, so ergibt sich eine symmetrische Parabel, deren höchster Punkt dem Umkehrpunkt des Körpers entspricht. Dabei ergeben sich folgende Formeln:

$v = v_0 - g \cdot t; s = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Die maximale Wurfhöhe wird berechnet, indem man die Geschwindigkeit v=0 setzt, dann zunächst die Steigzeit t berechnet und schließlich mit Hilfe der unteren Gleichung h ermittelt.
Die Wurfdauer berechnet man, indem man in der unteren Gleichung h=0 setzt und dann nach t auflöst. Alternativ kann die Wurfdauer durch Verdoppelung der Steigzeit ermittelt werden.

Der senkrechte Wurf nach unten entspricht einer Überlagerung von geradliniger Bewegung nach unten und freiem Fall nach unten. Dabei ergeben sich folgende Formeln:

$v = v_0 + g \cdot t$ ,

$h = h_0 - v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$ .

[Bearbeiten] Ballistische Kurve (mit Luftwiderstand)

[Bearbeiten] Allgemeines

In der Praxis weicht die ballistische Flugbahn von der Parabelform aus zwei Gründen ab: Luftwiderstand und Inhomogenität des Schwerefeldes.

Luftwiderstand: Die Atmosphäre wirkt bremsend; die Abweichung ist umso stärker, je höher die Geschwindigkeit ist – denn der Luftwiderstand nimmt mit v² zu, die Bahnkrümmung (d. h. die horizonale Streckung der Parabel durch höhere horizontale Geschwindigkeit) aber nur mit v ab. Die absteigende Kurve wird deutlicher gekürzt als die aufsteigende und verläuft daher steiler. Die maximale Wurfweite wird nicht mehr bei $\beta = 45^\circ$ erreicht. Außerdem muss beachtet werden, dass die Dichte der Luft in höheren Lagen geringer ist und damit ist auch der Luftwiderstand im Scheitelpunkt kleiner als am Boden.
Inhomogenität des Schwerefelds
- Kugelform der Erde: Die Lotlinien sind nicht parallel, sondern laufen im Erdzentrum zusammen. Daher würde auch im Vakuum keine Parabel resultieren, sondern eine Keplerellipse mit dem Brennpunkt im Geozentrum. Der Unterschied zur Parabel ist zwar bei üblichen Anwendungen nur im mm-Bereich, wächst bei Raketen aber auf Kilometer an.
- Lokale Variationen der Erdschwerebeschleunigung: Für Abweichungen der Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche vom Schwerefeld einer idealen Kugel sorgen die Zentrifugalkraft der Erdrotation, die Erdabplattung (welche letztendlich eine Folge dieser Zentrifugalkraft ist), das Höhenprofil (Gebirge = große Masse, aber auch größere Entfernung vom Geozentrum) und die Massenverteilung im Untergrund (siehe Gravimetrie). Beispielsweise beträgt die Schwerebeschleunigung am Äquator $9{,}780\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ , an den Polen jedoch $9{,}832\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ . Findet der Wurf komplett in einem Bereich statt, in dem man die Schwerebeschleunigung als konstant annehmen kann, wird die Parabelform (bzw. Ellipsenform) zwar beibehalten, jedoch wird die Parabel durch eine geringere Schwerebeschleunigung weiter und durch eine höhere Schwerebeschleunigung enger. Ansonsten ergeben sich Abweichungen von der Parabelform.

Zeitliche Variationen der Erdschwerebeschleunigung: Die Gezeiten entsprechen ebenfalls einer Veränderung der Schwerebeschleunigung.

Die Untersuchung der ballistischen Flugbahnen ist das eigentliche Untersuchungsgebiet der Ballistik.

[Bearbeiten] Grundlegende Formeln

Ein Körper werde mit der Geschwindigkeit v_gesamt unter dem Winkel ß schräg nach oben geworfen. Um den Luftwiderstand F_Reibung berechnen zu können, müssen im Gegensatz zur idealisierten Wurfparabel auch Form (C_w-Wert), Masse m und Querschnittsfläche A des Körpers bekannt sein.

Die horizontale und vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit lauten

$v_x = v_\mathrm{gesamt} \cdot \cos\beta$

$v_y = v_\mathrm{gesamt} \cdot \sin\beta$

Diese beiden Werte sind nur unmittelbar beim Start interessant, denn wegen des Luftwiderstandes wird v_x im Lauf der Zeit immer kleiner. Die tatsächliche Geschwindigkeit muss an jedem Punkt der Flugbahn neu berechnet werden. Das erfordert als ersten Zwischenschritt die Berechnung der Windkraft, bei der der Faktor 10000 erlaubt, die Querschnittsfläche des Flugkörpers in cm² an Stelle der Grundeinheit m² einzugeben.

$F_\mathrm{Reibung} = 0{,}5 \cdot \rho_\mathrm{Luft} \cdot C_\mathrm{w} \cdot A \cdot (v_x^2 + v_y^2)/10000$

Diese Reibungskraft bewirkt eine Beschleunigung, die der Geschwindigkeitsrichtung immer genau entgegengesetzt gerichtet ist. Deshalb muss die aktuelle Flugrichtung

β = arctan(v y / v x)

berechnet werden, um die Beschleunigung in zueinander senkrechte Komponenten zerlegen zu können:

$a_x = -\cos(\beta)\cdot F_\mathrm{Reibung}/m$

$a_y = -g+\sin(\beta)\cdot F_\mathrm{Reibung}/m$

Damit können im nächsten Zeitschritt dt Geschwindigkeit und Ort berechnet werden:

$v_{x(\mathrm{neu})}=v_{x(\mathrm{alt})} + a_x \cdot dt$

$v_{y(\mathrm{neu})} = v_{y(\mathrm{alt})} + a_y \cdot dt$

$x_{\mathrm{neu}} = x_{\mathrm{alt}} + v_x \cdot dt$

$y_{\mathrm{neu}} = y_{\mathrm{alt}} + v_y \cdot dt$

In den beiden letzten Formeln kann man für v_x (oder v_y) wahlweise v_x(alt) oder v_x(neu) oder den Mittelwert einsetzen. Die Unterschiede sind gering.

[Bearbeiten] Berechnung mit Tabellenkalkulation

Tabelle zur Berechnung der ballistischen Flugbahn für eine 380 g schwere Kugel

Ballistische Parabel für eine 17 g Eisenkugel

Zunächst werden in einer Tabellenkalkulation die Parameter in den gelb unterlegten Feldern M1 bis M7 eingegeben, die später nach Belieben variiert werden können. In anderen Programmiersprachen würde man die hier eingegebenen Werte als "globale Variable" bezeichnen. Der Zeitschritt dt muss so klein gewählt werden, dass die Änderungen von einer Berechnungszeile zur nächsten nur gering sind. Damit wird in der Spalte A die aktuelle Zeit berechnet. In den Spalten B bis I werden die oben genannten Formeln einprogrammiert, wobei die weiter rechts liegenden Zellen die benötigten Werte im Regelfall von den linken Nachbarn beziehen.

Im eingeblendeten Graphen ist blau die ballistische Flugbahn einer 380 g schweren Eisenkugel eingetragen und zum Vergleich in roter Farbe die Wurfparabel für die gleichen Anfangswerte. Durch den Luftwiderstand wird die Scheitelhöhe halbiert, die Wurfweite sogar gedrittelt und die Kugel erreicht schneller wieder den Boden. Das untere Bild zeigt, wie empfindlich diese Ergebnisse von Masse und Querschnittsfläche der Eisenkugel abhängen. Ein weiterer Test ergibt, dass - bei unveränderter Masse 17 g - eine Verringerung des C_w-Wertes von 0,45 (Kugel) auf 0,05 (Stromlinienform) die Schussweite von 250 m auf 900 m steigen lässt.

Die Berechnung der Ballistischen Kurve in „geschlossener Form“ dürfte mit Hilfe von Differentialgleichungen zu kompliziert und damit unmöglich sein - mit Tabellenkalkulation sind noch längst nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

Java-Applet zur Veranschaulichung des 'Schiefen Wurfs'

Kategorien: Klassische Mechanik | Ballistik

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