Gruppentheorie-Glossar

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Dieses Glossar zur Gruppentheorie soll dem schnellen Nachschlagen dienen.

Zu diesem Zweck

• ist es alphabetisch geordnet,
• enthält es möglichst knappe Definitionen,
• enthält es über Definitionen hinaus nur knappste Erläuterungen wichtiger Zusammenhänge,
• wird auf Beispiele verzichtet,
• werden Links nur auf Artikel gesetzt, die unmittelbar das Stichwort erklären (Querverweise innerhalb dieses Glossars nicht per Link, sondern per Kursivschrift).

In diesem Artikel verwenden wir folgende Bezeichnungen:

• e ist das neutrale Element einer Gruppe.

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abelsch: heißt eine Gruppe (G,*), wenn die Verknüpfung * kommutativ ist, also g*h = h*g für alle g, h ∈ G. Benannt nach Niels Henrik Abel.

allgemeine lineare Gruppe GL(n,F) vom Grad n über einem Körper F: Menge aller invertierbaren n×n-Matrizen mit Koeffizienten aus F und mit der Matrixmultiplikation als Gruppenverknüpfung.

alternierende Gruppe Alt_n oder A_n: Menge aller geraden Permutationen einer Menge von n Elementen; für n>2 eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe. Für n>4 ist sie einfach. Ihre Ordnung ist n!/2.

Bahn eines Elements x einer Menge X unter der Wirkung einer Gruppe G: die Menge aller gx mit g∈G.

charakteristische Untergruppe: Eine Untergruppe, die bei allen Automorphismen auf sich abgebildet wird (kurz "fest bleibt").

Darstellung einer Gruppe vom Grad n: ein Homomorphismus von einer Gruppe auf eine allgemeine lineare Gruppe GL(n,..) mit der Absicht, eine "abstrakte" Gruppe durch invertierbare Matrizen darzustellen. Die Darstellungstheorie ist ein umfangreiches Unterkapitel der Gruppentheorie.

direktes Produkt (bei abelschen Gruppen auch direkte Summe) zweier Gruppen G und H: eine Gruppe, deren Elemente Paare (g,h) mit g∈G und h∈H sind.

einfach: heißt eine Gruppe aus mindestens zwei Elementen, die nur {e} und sich selbst als Normalteiler enthält. Jede endliche Gruppe ist in gewisser Weise aus einfachen Gruppen zusammengesetzt. Die endlichen einfachen Gruppen sind abschließend klassifiziert.

Einselement: das neutrale Element in einer Gruppe mit multiplikativ aufgefasster Verknüpfung.

endlich: heißt eine Gruppe, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält.

Epimorphismus: heißt ein surjektiver Homomorphismus.

Faktorgruppe (auch: Quotientengruppe, Restklassengruppe): für eine Gruppe G und einen Normalteiler N von G ist die Faktorgruppe G/N die Menge der Links-Nebenklassen{aN: a∈G} mit der Verknüpfung aN*bN=abN. Der Zusammenhang von Normalteilern, Homomorphismen und Faktorgruppen ist im Homomorphiesatz zusammengefasst.

Grad einer Darstellung: Grad der allgemeinen linearen Gruppe, in die eine Darstellung abbildet.

Grad einer linearen Gruppe: die Zahl der Spalten (also auch der Zeilen) der quadratischen Matrizen, aus denen diese Gruppe besteht. Siehe allgemeine lineare Gruppe.

Gruppen-Homomorphismus: siehe Homomorphismus von Gruppen.

Gruppen-Isomorphismus: siehe Isomorphismus von Gruppen.

Homomorphiesatz: verknüpft das Bild eines Gruppen-Homomorphismus mit der Faktorgruppe nach seinem Kern.

Homomorphismus von Gruppen: eine Abbildung f: (G,*) → (H,×), die die Verknüpfungstafel erhält: f(a * b) = f(a) × f(b) für alle a und b aus G.

Index einer Untergruppe: die Kardinalität der Menge der Rechts- oder Linksnebenklassen einer Untergruppe.

isomorph: heißen Gruppen, die durch einen Isomorphismus aufeinander abgebildet werden können. Isomorphe Gruppen können als bis auf die Benennung ihrer Elemente identisch angesehen werden. Eine Hauptaufgabe der Gruppentheorie ist die Klassifikation von Gruppen "bis auf Isomorphismen".

Isomorphismus von Gruppen: bijektiver (umkehrbarer) Homomorphismus.

Kern eines Gruppen-Homomorphismus: die Teilmenge der Ausgangsgruppe, die auf das neutrale Element der Zielgruppe abgebildet wird. Jeder Normalteiler ist Kern eines Gruppen-Homomorphismus und umgekehrt.

Kleinsche Vierergruppe V: die kleinste nicht-zyklische Gruppe; hat die Ordnung 4.

kommutativ: siehe abelsch.

Kompositionsreihe: siehe Reihe (Gruppentheorie).

Lie-Gruppe: eine Gruppe, die zugleich eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit ist, und deren Verknüpfung (nebst Umkehrfunktion) eine analytische Funktion ist.

Links-Nebenklassen zu einem Gruppenelement g∈G und einer Untergruppe U von G: die Menge g*U, also die Menge aller n∈G, die sich als n=g*u mit u∈U schreiben lassen. Eine Links-Nebenklasse, die zugleich Rechts-Nebenklasse ist, heißt Normalteiler oder auch normale Untergruppe.

Monomorphismus: heißt ein injektiver Homomorphismus.

Monstergruppe: die größte sporadische Gruppe.

Nebenklassen: siehe Rechts-Nebenklasse oder Links-Nebenklasse.

normale Untergruppe: siehe Normalteiler.

Normalreihe: siehe Reihe-Gruppentheorie.

Normalteiler: Eine Untergruppe N von G, so dass für alle n∈N und alle g∈G das "konjugierte" Element g^-1ng in N liegt. Ein Normalteiler ist zugleich Rechts- und Links-Nebenklasse.

Nullelement: das neutrale Element in einer Gruppe mit additiv aufgefasster Verknüpfung.

Orbit: siehe Bahn.

Ordnung einer endlichen Gruppe: die Anzahl ihrer Elemente.

Ordnung eines Elements g einer Gruppe G: sofern existent, die kleinste Zahl m∈N⁺ für die g^m = e. Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist durch die Ordnung jedes Elements teilbar.

p-Gruppe: eine Gruppe von Primzahlpotenzordnung, also eine Gruppe mit der Eigenschaft: Die Ordnung eines jeden Elements ist eine Potenz der Primzahl p.

Permutationsgruppe: Eine Gruppe aus Permutationen einer endlichen Menge, z. B. der Zahlen von 1 bis n.

prime Restklassengruppe. Die multiplikative Gruppe der primen Restklassen modulo einer natürlichen Zahl n>1.

Punktgruppe: Symmetriegruppe eines Körpers, insbesondere eines Moleküls, auch in einem Kristall.

Quaternionengruppe Die multiplikative Gruppe des Schiefkörpers der Hamiltonschen Quaternionen

Quotientengruppe: siehe unter der üblicheren Bezeichnung Faktorgruppe.

Raumgruppe: Symmetriegruppe eines Kristalls.

Reihe (Gruppentheorie): Eine auf -bzw. absteigende Kette geeigneter Untergruppen einer Gruppe.

Restklassengruppe: siehe unter der üblicheren Bezeichnung Faktorgruppe.

spezielle lineare Gruppe SL(n,F) vom Grad n über einem Körper F: Menge aller invertierbaren n×n-Matrizen mit der Determinante 1; Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.

spezielle orthogonale Gruppe SO(n,F) vom Grad n über einem Körper F: Menge aller orthogonalen n×n-Matrizen mit der Determinante 1; Untergruppe der speziellen linearen Gruppe und der orthogonalen Gruppe.

sporadisch: heißen die 26 endlichen einfachen Gruppen, die sich keiner der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen lassen.

Sylow-Gruppe: siehe Sylow-Sätze.

symmetrische Gruppe Sym_n oder S_n: besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen und hat die Ordnung n!, Gruppenverknüpfung ist die Verkettung der Permutationen.

symplektische Gruppe Sp(n,F) vom Grad 2n über einem Körper F: Gruppe der 2n×2n symplektischen Matrizen.

treue Darstellung: nicht nur ein Homo-, sondern ein Isomorphismus einer Gruppe auf die allgemeine lineare Gruppe. Siehe Darstellungstheorie.

unitäre Gruppe: siehe Unitäre Matrix.

Untergruppe: heißt eine Teilmenge H einer Gruppe (G,*), wenn (H,*) auch eine Gruppe, also bezüglich * und Bildung von Inversen abgeschlossen ist.

zyklisch: heißt eine Gruppe G, die von genau einem Element p erzeugt wird: alle Elemente von G sind Potenzen von p. Jede endliche Abelsche Gruppe ist das direkte Produkt von zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung.