Symmetrische Gruppe
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Die symmetrische Gruppe Sn (oder Symn) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht. Die Gruppenoperation ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die Permutation, die alle Elemente invariant lässt. Die symmetrische Gruppe Sn ist endlich und besitzt die Ordnung n!; für n > 2 ist sie nicht kommutativ.
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[Bearbeiten] Notation
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren; bildet zum Beispiel eine Permutation p das Element 1 auf p1, das Element 2 auf p2 usw. ab, so kann man hierfür
schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation p − 1, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.
Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise: geht p1 in p2, p2 in p3, ..., pk in p1 über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür
und nennt dies einen Zyklus der Länge k. Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden.
[Bearbeiten] Eigenschaften
[Bearbeiten] Erzeugende Mengen
- Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Die Menge der geradzahligen Permutationenen bilden eine Untergruppe der Sn, die alternierende Gruppe An.
- Auch die beiden Elemente
und 
erzeugen die symmetrische Gruppe Sn.
[Bearbeiten] Konjugationsklassen
Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie dieselbe Zyklenstruktur aufweisen, das heißt, die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen stimmen überein. In diesem Fall handelt es sich nur um eine Umnumerierung der Elemente, die permutiert werden.
[Bearbeiten] Normalteiler
Die symmetrische Gruppe Sn besitzt außer den trivialen Normalteilern {1} und Sn nur die alternierende Gruppe An als Normalteiler, für n = 4 zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe V.
[Bearbeiten] Satz von Cayley
Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn isomorph, wobei n nicht größer als die Ordnung von G ist.
[Bearbeiten] Rechenbeispiele
Die Verkettung zweier Permutationen p1 und p2 wird als 
geschrieben: zuerst wird die Permutation p1 ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation p2 angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).
Beispiel:
In Zyklenschreibweise lautet dies:
Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.
Für n > 2 ist die symmetrische Gruppe Sn nicht kommutativ, wie man an folgender Rechnung sieht:
