Endliche Gruppe
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Eine endliche Gruppe tritt in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie auf. Endliche Gruppen sind Gruppen, deren Trägermenge M eine endliche Anzahl von Elementen enthält.
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[Bearbeiten] Axiome
Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem (siehe v.d.Waerden, S. 15-17):
Ein Paar 
mit einer endlichen Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung 
heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
- Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt:
- Eindeutigkeit der Division: Aus
wie auch aus 
folgt: x = x'. (Nicht einmal Existenz der Division muss vorausgesetzt werden.
[Bearbeiten] Einfache Gruppen
Jede endliche Gruppe ist zusammengesetzt aus einer endlichen Anzahl von endlichen einfachen Gruppen. Allerdings kann diese Zusammensetzung kompliziert sein, und trotz der Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.
Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert:
- Fast alle dieser Gruppen lassen sich einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen.
- Es existieren 26 Ausnahmen – diese Gruppen werden als sporadische Gruppen bezeichnet.
[Bearbeiten] Beispiele
Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe).
Sporadische Gruppen sind u. a. die Conway-Gruppe, das Babymonster und die Monstergruppe (mit fast 1054 Elementen die größte sporadische Gruppe).
[Bearbeiten] Anwendungen
Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene Raumgruppen.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Weblinks
- Endliche Gruppen auf www.mathworld.wolfram.com (englisch)
[Bearbeiten] Literatur
- van der Waerden: Algebra I
- Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung (Springer Lehrbuch), ISBN 3-540-60331-X
