Ordnung eines Gruppenelementes
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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements g einer Gruppe die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die gn = e gilt, wobei e das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, g habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit oder o(g) bezeichnet.
Dafür definiert man die Potenz eines Gruppenelementes:
- a0: = e
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, die ein Teiler der Gruppenordnung, d.h. der Anzahl der Elemente der Gruppe, ist.
- Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
- In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes gh ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von g und h. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element der Gruppe SL2(Z) unendliche Ordnung, es ist aber gleich dem Produkt der Elemente und mit den jeweiligen Ordnungen 4 bzw. 6.