Rząd (teoria grup)

Z Wikipedii

W teorii grup, termin rząd jest używany w dwóch blisko powiązanych znaczeniach:

rząd grupy oznacza liczbę elementów tej grupy;
rząd elementu a oznacza najmniejszą dodatnią liczbę naturalną r taką że a^r = e (gdzie e jest elementem neutralnym grupy). Jeśli taka liczba nie istnieje, mówimy że rząd a jest nieskończony.

Rząd grupy G oznacza się przez ord(G),(ale także:|G|, #G, r(G), rz(G) ) rząd elementu a przez ord(a),(jest wiele innych oznaczeń).

[edytuj] Przykład

Grupa symetryczna S₃, zawiera wszystkie permutacje zbioru trzyelementowego. Jej tablica działań wygląda następująco:

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Ta grupa ma sześć elementów, zatem ord(S₃) = 6. Z definicji rząd permutacji identycznościowej e wynosi 1. Elementy s, t i w po podniesieniu do kwadratu dają e, a więc ich rząd wynosi 2. Elementy u i v mają rząd 3, ponieważ u² = v ; u³ = vu = e; v² = u; v³ = uv = e.

[edytuj] Właściwości

Dwie definicje rzędu są powiązane w następujący sposób: jeśli zdefiniujemy

$\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \}$

Jako podgrupę generowaną przez element a, to

$\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).$

Czyli rząd elementu możemy zdefiniować równoważnie jako rząd najmniejszej podgrupy zawierającej ten element.

Posługując się pojęciem rzędu można określać strukturę omawianych grup. Grupa rzędu 1 nazywana jest grupą trywialną. Jeśli element ma rząd 1, oznacza to że jest elementem neutralnym grupy. Jeśli każdy element poza neutralnym w grupie G ma rząd 2 (jest swoją odwrotnością), to G jest grupą przemienną: ponieważ ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = ba. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: przykładowo grupa cykliczna Z₆ (dodawanie liczb naturalnych modulo 6) jest grupą przemienną, ale np. element 2 ma rząd 3 (2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6)).

Dla dowolnego k zachodzi

a^k = e wtedy i tylko wtedy gdy ord(a) dzieli k.

Rząd dowolnej podgrupy G dzieli rząd G (patrz Twierdzenie Lagrange'a), a więc rząd dowolnego elementu w grupie jest dzielnikiem rzędu grupy.

W szczególnym wypadku istnieje twierdzenie odwrotne: jeśli G jest grupą skończoną, d dzieli rząd G i d jest liczbą pierwszą, to istnieje w G element rzędu d. Dla liczb złożonych nie musi to zachodzić: przykładowo grupa czwórkowa Kleina nie zawiera elementu rzędu 4.

Jeśli rząd a jest nieskończony, to rząd każdej potęgi a jest również nieskończony. Jeśli rząd a jest skończony, to możemy łatwo wyznaczyć rząd jego dowolnej potęgi ze wzoru

ord(a^k) = ord(a) / NWD(ord(a), k)

Nie istnieje ogólna metoda wyznaczenia rzędu iloczynu ab na podstawie rzędów a i b. Istnieją przypadki że zarówno a jak i b mają nieskończony rząd, a ab ma skończony.

Jeśli rzędy wszystkich elementów grupy są skończone to taka grupa jest torsyjna.