Bindungsenergie

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Bindungsenergie wird freigesetzt, wenn zwei oder mehr Bestandteile durch Anziehungskräfte zusammengebracht werden und miteinander ein gebundenes System (beispielsweise einen Himmelskörper, ein Molekül, ein Atom, einen Atomkern) bilden. Diese Freisetzung bedeutet, dass das gebundene System eine negative potentielle Energie hat. Um die Bestandteile wieder zu trennen, muss eine gleich große Arbeit von außen geleistet, also dem System wieder zugeführt werden, um die bindenden Kräfte zu überwinden.

Die Bezeichnung Bindungsenergie ist ein gängiger Fachausdruck, aber sprachlich etwas unglücklich gewählt. Sie führt – besonders mit einem nachfolgenden Genitiv, wie z. B. Bindungsenergie „des Uran-Atomkerns“ – leicht zu dem Missverständnis, es handele sich um einen (positiven) Energiebetrag, der in dem gebundenen System vorhanden ist und aus ihm freigesetzt werden kann. Richtig ist, wie oben gesagt, das Gegenteil: die Bindungsenergie ist bereits bei der Bildung des gebundenen Systems freigesetzt und abgegeben worden, ist also gerade nicht mehr verfügbar.

[Bearbeiten] Chemische Bindungsenergie

Das Maß für die Stärke einer Bindung ist die Bindungsenergie. Sie wird Dissoziationsenthalpie genannt, wenn sie zum Trennen der verbundenen Atome aufgewendet werden muss. Sie wird in kJ/mol oder in eV/Bindung angegeben. Bindungsenergien zwischen Atomen betragen zwischen 300 und 650 kJ/mol bzw. zwischen 3 und 7 eV/Bindung.

Die Bindungsenergie kommt dadurch zustande, dass bei Annäherung zweier Atome die jeweiligen Valenzorbitale einen bindenden und einen antibindenden Zustand erzeugen. Der bindende Zustand liegt energetisch unterhalb der einzelnen Valenzzustände. Wenn die Valenzzustände jeweils nur ein Elektron besitzen, werden deren Energieeigenwerte herabgesetzt. Die bei der Überlappung freiwerdende Energie ist die Bindungsenergie.

[Bearbeiten] Atomphysik

In der Atomphysik wird als Bindungsenergie die Energie bezeichnet, die beim Einfangen eines Elektrons in die Elektronenhülle freigesetzt wird.

Die Bindungsenergie ist die Absenkung der Energie des Gesamtsystems und kommt durch die elektrische Anziehung zwischen Elektron und Atomkern zustande.

[Bearbeiten] Kernphysik

In der Kernphysik ist die Bindungsenergie die Energiemenge, die frei wird, wenn sich Nukleonen zu einem Atomkern verbinden. Dies ist nach der einsteinschen Beziehung $E = m c 2$ mit einem kleinen Massenverlust der gebundenen Nukleonen verbunden, dem Massendefekt.

Bindung kommt durch die anziehende Kraft der starken Wechselwirkung zwischen den Nukleonen zustande. Sie wird durch die gegenseitige Coulomb-Abstoßung der elektrisch positiv geladenen Protonen im Kern geschwächt. Die maximale Bindungsenergie pro Nukleon ist ungefähr bei Eisen erreicht und nimmt zu schwereren Nukliden hin wieder ab: Je mehr Protonen vorhanden sind, desto größer ist die abstoßende Coulombkraft zwischen ihnen. Daher kann im Gebiet der leichten Kerne durch Kernverschmelzung (Kernfusion), im Gebiet der schweren Kerne durch Kernspaltung Nutzenergie gewonnen werden, wie in der Abbildung angedeutet ist.

Die Zacken in der Graphik hängen mit den Magischen Zahlen zusammen.

Siehe auch: Bethe-Weizsäcker-Formel

Kernbindungsenergie in Abhängigkeit der Kernmasse

Die Bindungsenergie B definiert man üblicherweise aus der Masse der Atome, weil diese wesentlich präziser gemessen werden kann als die Masse der Kerne:

$B(Z,A) = \left(Z \cdot M(H) + (A - Z) \cdot M(n) - M(A,Z)\right) \cdot c^2$

Hierbei ist M(H) die Masse des H-Atoms, M(n) die Masse des Neutrons, M(A,Z) die Masse des Atoms mit Z Elektronen und einem Kern mit A Nukleonen (A die Massenzahl und Z die Ordnungszahl).

[Bearbeiten] Gravitation

Die gravitative Bindungsenergie ist diejenige Energie, die benötigt wird, um einen durch Gravitation zusammengehaltenen Körper (z. B. die Erde) in gleichschwere, winzige Bestandteile zu zerlegen und diese unendlich weit voneinander zu entfernen. Oder umgekehrt ist es auch diejenige Energie, die freigesetzt wird, wenn sich eben diese Bestandteile zu einem gravitativ gebundenen Körper zusammenfügen.

In Newtons Gravitationstheorie ist die Bindungsenergie einer Massendichte $\rho(\mathbf r)$ das Volumenintegral

$E=\frac{1}{2}\int_V \rho(\mathbf r)\, \Phi(\mathbf r)\,\mathrm d^3 r$

oder äquivalent

$E=-\frac{1}{8 \pi G}\int_{\text{Raum}} \mathbf g(\mathbf r)^2 \,\mathrm d^3r\,.$

Dabei ist $\Phi(\mathbf r)$ das Gravitationspotential der Massendichte (es muß mit zunehmendem Abstand gegen Null gehen) und $\mathbf g (\mathbf r)$ die Gravitationsbeschleunigung. Es ist zu beachten, dass in der ersten Formel nur über das Volumen der Dichteverteilung, in der zweiten Formel jedoch über den gesamten Raum integriert wird.

Beispielsweise für eine homogene Kugel, also eine Kugel mit konstanter Dichte, ergibt sich für das Potential im Innern (Herleitung)

$\Phi(\mathbf r) = \frac{G\,M}{2\,R}\,\left(\frac{r^2}{R^2}-3\right)\,,$

wobei M die Masse des Körpers, R der Radius und G die Gravitationskonstante ist. Zusammen mit der Dichte

$\rho = \frac{M}{V_{\text{Kugel}}}= \frac{3\, M}{4\, \pi\, R^3}$

führt dies zur Bindungsenergie

$E = \frac{1}{2}\int_{\text{Kugel}} \frac{3\, M}{4\, \pi\, R^3} \frac{G\,M}{2\,R}\,\left(\frac{r^2}{R^2}-3\right)\, \mathrm d^3 r = \frac{3\, G\, M^2}{16\, \pi\, R^4}\int_{\text{Kugel}}\left(\frac{r^2}{R^2}-3\right) \mathrm d^3 r\,.$

Da über eine Kugel integriert werden muss, ist es am einfachsten, dies in Kugelkoordinaten zu tun. Das Volumenelement $d 3 r$ hat in diesen Koordinaten die Gestalt

$\, \mathrm{d}^3 r=r^2\, \sin \theta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r$ ,

wobei $\varphi$ der Azimutwinkel und $θ$ der Polarwinkel ist. Damit wird das Integral zu

$E = \frac{3\, G\, M^2}{16\, \pi\, R^4}\int_0^R \int_0^\pi\int_0^{2\pi} \left(\frac{r^2}{R^2}-3\right)\, r^2\, \sin \theta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r$ .

Für die beiden Integrale über die Winkel ergibt sich einfach

$\int_0^\pi\int_0^{2\pi} \sin \theta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta = 4\, \pi$ ,

also

$E = \frac{3\, G\, M^2}{4\, R^4}\int_0^R \left(\frac{r^4}{R^4}-3 r^2\right)\, \mathrm{d}r = \frac{3\, G\, M^2}{4\, R^4}\left(\frac{R^5}{5 R^2}-\frac{3 R^3}{3}\right) = -\frac{3\, G\, M^2}{5\, R}$ .

Die Bindungsenergie beträgt also

$E = -\frac{3\, G\, M^2}{5\, R}$ .

Reale Körper haben im Zentrum durch die Eigenkompression eine größere Dichte als nahe der Oberfläche; deshalb kann man sich vorstellen, dass das im Zentrum „überschüssige“ Material zuerst näher an die Oberfläche gebracht wird, so dass eine homogene Massenverteilung entsteht. Dieser Vorgang kostet Energie; zusätzlich muss nun noch der homogene Körper zerlegt werden. Deshalb haben reale Himmelskörper stets größere gravitative Bindungsenergien als homogene Kugeln.

Eine homogene Kugel mit Masse und Größe der Erde besäße gemäß dieser Formel eine gravitative Bindungsenergie von etwa 2,2 · 10³² J, die tatsächliche Bindungsenergie der Erde beläuft sich auf 2,4 · 10³² J. Dies ist die Ruheenergie einer Masse von

$m=E/c^2 = 2{,}67\cdot 10^{15}\,\mathrm{kg}$ ,