Taula de símbols matemàtics

De Viquipèdia

En matemàtica, uns símbols són sovint utilitzats dins les fórmules i les proposicions. La taula següent en reporta una llista.

Per a cada símbol es precisat el nom, la pronúncia i la branca de les matemàtiques on és generalment utilitzat. Una definició informal i uns exemples són afegits.

Símbol	Nom	Significat	Exemples
	Pronúncia
	Branca
⇒	Implicació lògica	$A \Rightarrow B$ significa «si A és cert, llavors B és cert» i, de manera equivalent, «si B és fals, llavors A és fals» (si A és falsa, no es pot dir res de B). A vegades, s'utilitza $\rightarrow\,$ en lloc de $\Rightarrow\,$	$x = 2 \Rightarrow x^2 = 4\,$ és cert, però $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\,$ és fals (puix que x= -2 és també una solució).
	«implica» o «si... llavors»
	Lògica
⇔	Equivalència lògica	$A \iff B$ significa : «A és cert si B és cert i A és fals si B és fals».	$x + 5 = y + 2 \iff x + 3 = y\,$
	«si i només si» o «és equivalent a»
	Lògica
∧	Conjunció lògica	$A \wedge B$ és cert quan A i B són certs i és fals si algun dels dos ho és.	$(n>2)\wedge (n<4)\iff (n=3)$ , quan n és un enter natural
	«i»
	Lògica
∨	Disjunció lògica	$A\vee B$ és cert quan o A o B (o ambdós) són certs i és fals quan els dos són falsos.	$(n\le 2)\vee (n\ge 4)\iff n\ne 3$ , quan n és un enter natural
	«o»
	Lògica
¬	Negació lògica	$\neg A$ és cert quan A és fals i fals quan A és cert.	$\neg (A\wedge B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)$ $x\notin S\iff \neg(x\in S)$
	«no»
	Lògica
∀	Quantificador universal	$\forall x\in \mathbb{R}, P(x)$ significa : «P(x) és cert per qualsevol valor real que prengui x».	$\forall n\in \mathbb N, n^2\ge n$
	«Per a tot», «per a qualsevol»
	Lògica
∃	Quantificador existencial	$\exists x \in \mathbb R : P(x)$ significa : «existeix al menys un valor real de x per al qual P(x) és cert»	$\exists n\in \mathbb N, n+5=2\cdot n$ (n=5 n'és de fet la resposta)
	«existeix»
	Lògica
∃!	Quantificador d'unicitat	$\exists\, ! x \in \mathbb R : P(x)$ significa : «existeix un únic valor real de x tal que P(x) és cert»	$\exists\, ! n\in \mathbb N, n+5=2\cdot n$ (n=5 n'és de fet la resposta)
	«existeix exactament un»
	Lògica
=	igualtat	$x = y$ significa : «x i y indiquen el mateix objecte matemàtic»	$1 + 2 = 6 - 3$
	«és igual»
	qualsevol branca
≠	desigualtat	$x\not=y$ significa : «x i y no indiquen el mateix objecte matemàtic». En suports informàtics també s'indica != i <>.	$1 + 2 \not= 6 - 4$
	«no és igual a» «és diferent de»
	qualsevol branca
:= ≡ :⇔	Definició	$x : = y$ significa : «x és definit en tant que un altre nom de y» $P :\iff Q$ significa : «P és definit en tant que lògicament equivalent a Q». ≡ també pot significar congruència.	$cosh (x) := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right)$ (cosinus hiperbòlic) $A \oplus B :\iff (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$ (Disjunció exclusiva)
	«és definit com a»
	qualsevol branca
{ , }	Conjunt definit analíticament	${a, b, c}$ individualitza el conjunt del qual els elements són a, b, i c	$\mathbb N = \{1,2,\ldots \}$ (conjunt dels naturals)
	«El conjunt de ...»
	Teoria de conjunts
{ \| } { ; } { : }	Conjunt definit sintèticament	$\{x\;\|\;P(x)\}$ individualitza el conjunt de tots els x que verifiquen P(x). Notacions equivalents: $\{x \; ; \; P(x)\}$ o ${x : P (x)}$	$\{n\in \mathbb N \;\|\; n^2<20\} = \{ 1, 2, 3, 4\}$
	«el conjunt de tots els ... que verifiquen...»
	Teoria de conjunts
∅ { }	Conjunt buit	${}$ i $\emptyset$ indiquen conjunt buit, el conjunt que no té elements.	$\{n\in \mathbb N \;\|\; 1<n^2<4\} = \emptyset$
	«Conjunt buit»
	Teoria de conjunts
∈ ∉	Pertinença (o no) a un conjunt	$a\in S$ significa : «a és un element del conjunt S» $a\notin S$ significa : «a no és un element de S»	$2\in \mathbb N$ ${1\over 2}\notin \mathbb N$
	«pertany a», «és element de», «és en». «no pertany a», «no és un element de», «no és en»
	Teoria de conjunts
⊂ ⊆	Subconjunt	$A\subseteq B$ significa : «cada element de A és també un element de B» Generalment, $A\subset B$ té el mateix significat, tot i que a vegades s'utilitza com per a representar un subconjunt propi. Per a representar que un conjunt conté un altre s'utilitzen ⊇ i ⊃.	$(A\cap B) \subseteq A$ $\mathbb R\supseteq \mathbb Q$
	«és un subconjunt (una part) de ...», «és contingut en...»
	Teoria de conjunts
⊊ ⊂	Subconjunt propi o estricte	$A\subsetneq B$ significa $A\subseteq B$ i $A\ne B$ . Rarament s'utilitza $A\subset B$ per a dir el mateix.	$\mathbb N\subsetneq \mathbb Q$ $\mathbb R\supsetneq \mathbb Q$
	«és un subconjunt propi de ...», «és estrictement inclòs en...»
	Teoria de conjunts
∪	Unió	$A\cup B$ indica el conjunt que conté tots els elements de A i de B i només aquells.	$A\subseteq B\iff A\cup B=B$
	«Unió de ...», «reunió de ...», «... unió ...»
	Teoria de conjunts
∩	Intersecció	$A\cap B$ indica el conjunt dels elements que pertanyen alhora a A i a B, és a dir els elements que els conjunts A i B tenen en comú.	$\{x\in \R \;\|\; x^2=1\}\cap \mathbb N = \{1\}$
	«Intersecció de ... i de ...»
	Teoria de conjunts
∖	Diferència	$A\setminus B$ indica el conjunt de tots els elements de A que no pertanyen a B.	$\{1,2,3,4\}\setminus \{3,4,5,6\} = \{1,2\}$
	«diferència de ... i ...», «... menys ...»
	Teoria de conjunts
( ) [ ] { }	Associativitat;	S'utilitza per a indicar en una fórmula que unes operacions s'han d'executar amb preferència. Així, $a + (b + c)$ vol dir que primer s'ha d'executar $b + c$ i posteriorment fer $a +$ aquest resultat.	${({8 \over 4}) \over 2}= {2 \over 2}= 1$ , però ${8 \over ({4 \over 2})}= {8 \over 2}= 4$
	no es llegeix o es diu «parèntesi»
	qualsevol branca
	Funció, aplicació;	f(x) indica la imatge de l'element x mitjançant la funció f.	Si $f : \mathbb R \to \mathbb R$ és definida com a $f (x): = x 2$ , llavors f(3) = 3² = 9
	«de»
	qualsevol branca
→	Funció	$f:X\to Y$ significa que la funció f va de X en Y, o que té X com a conjunt de definició (domini) i Y com a conjunt d'arribada (codomini).	Considerem la funció $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$ definida mitjançant $x \mapsto f(x):=x^2$
	«de ... a», «de ... dins», «de ... sobre ...»
	qualsevol branca
↦	Funció	$x \mapsto f(x)$ significa que la variable x té per imatge $f (x)$ .	En lloc d'escriure que f és definida mitjançant f(x) = x², podem escriure també $f\colon x \mapsto x^2$
	«és manat sobre», «té per imatge»
	qualsevol branca
ℕ	Conjunt dels nombres naturals	$\mathbb N$ representa $\{0, 1, 2, 3, \ldots \}$ .	$\{\left\|a\right\| \; ; a\in \mathbb Z\}\setminus \{0\}=\mathbb N$
	«N»
	Nombres
ℤ	Conjunt dels enters relatius	$\mathbb Z$ representa $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ .	$\{a ; \left\| a\right\| \in \mathbb N\}\cup\{0\}=\mathbb Z$
	«Z»
	Nombres
ℚ	Conjunt dels nombres racionals	$\mathbb Q$ representa $\left\{ {p\over q} ; p\in \mathbb Z\wedge q\in \mathbb N\right\}$ .	$3,14\in \mathbb Q$ $\pi \notin \mathbb Q$
	«Q»
	Nombres
ℝ	Conjunt dels nombres reals	$\R$ representa el conjunt dels límits de les successions de Cauchy de $\mathbb Q$ .	$\pi \in \R$ $i \notin \R$ (i és el nombre complex tal que $i 2 = - 1$ )
	«R»
	Nombres
ℂ	Conjunt dels nombres complexos	$\mathbb C$ representa $\{a+b\cdot i \;\|\; a\in \R \wedge b\in \R\}$	$i\in \mathbb C$
	«C»
	Nombres
< >	desigualtat estricta	$x < y$ significa que x és estrictament menor a y. $x > y$ significa que x és estrictament superior a y.	$x<y\iff y>x$
	«és estrictament menor a», «és estrictament major a»
	Relacions d'ordre
≤ ≥	desigualtat ordinària	$x\le y$ significa que x és més petit o igual a y. $x\ge y$ significa que x és més gran o igual a y.	$x\ge 1\Rightarrow x^2\ge x$
	«és menor que», «és menor o igual a»; «és major que», «és major o igual a»
	Relacions d'ordre
+	Addicció	4 + 6 = 10 significa que si quatre és afegit a sis, llavors la suma o el resultat de l'addicció és igual a deu.	43 + 65 = 108 2 + 7 = 9
	«més»
	Aritmètica
-	Sostracció	9 - 4 = 5 significa que si es resta quatre de nou, llavors la suma és igual a 5. El signe menys pot també ésser posat immediatament a l'esquerra d'un nombre per a indicar que és negatiu. Par exemple, 5 + (-3) = 2 significa que si cinc i el nombre negatiu menys tres han estats afegits, llavors el resultat és igual a dos.	87 - 36 = 51
	«menys»
	Aritmètica
⋅ × *	Producte	3⋅2 = 6 significa que si tres és multiplicat per dos, llavors el resultat és igual a sis. Quan s'utilitzen constants o variables normalment no es posa, és a dir, 25a vol dir 25⋅a. També s'utilitzen els símbols × i *, el segon especialment en mitjans informàtics. Quan es tracta amb vectors, el símbol ⋅ representa el producte escalar i × el producte vectorial. Per a representar el producte cartesià també es fa servir exclusivament ×.	23⋅11 = 253
	«per»
	Aritmètica
/ ÷ :	Divisió	9 : 4 = 2 significa que nou dividit per a quatre és igual a dos.	101: 4 = 25
	«dividit entre», «dividit per»
	Aritmètica
_	fracció	${9 \over 4}$ representa la fracció nou quarts. / pot ésser també utilitzat per a representar la divisió.	${100 \over 25} = 4$
	«entre»
	Aritmètica, nombres
≈	Aproximació	$e\approx 2,718$ a menys de 10^-2 significa que un valor aproximat de e a menys de 10^-2 és 2,718.	$\pi \approx 3,1415926$ a menys de 10^-7 .
	«aproximadament igual a»
	Nombre real
√	Arrel quadrada	$\sqrt x$ representa el nombre real positiu el quadrat del qual és igual a x.	$\sqrt 4=2$ $\sqrt {x^2}= \left\|x\right\|$
	«Arrel quadrada de ...»
	Nombre
∞	Infinit	$+\infty$ i $-\infty$ són dels elements del conjunt estès de nombres reals. $\infty$ apareix en els calculs dels límits. $\infty$ és un punt afegit al pla complex per a rendre-ho isomorf a una esfera (esfera de Riemann)	$\lim_{x\to 0} {1\over \left\|x\right\|}= \infty$
	«Infinit»
	Nombre
π	π	$π$ és la raó entre la mesura de la circumferència d'un cercle i el seu diàmetre.	$A=\pi \cdot r^2$ és l'àrea d'un cercle de radi r
	«Pi»
	Geometria euclidiana
\|\| \|\|	Norma	$\Vert x\Vert\,$ és la norma de l'element x.
	«Norma de...»
	Àlgebra lineal Anàlisi funcional
\| \|	Valor absolut; mòdul d'un nombre complex; o cardinalitat d'un conjunt	$\left\|x\right\|$ indica el valor absolut de x (o el modul de x). $\| A \|$ indica la cardinalitat del conjunt A i representa, quan A és finit, el nombre d'elements de A.	$\left\|a+b\cdot i\right\|=\sqrt {a^2+b^2}$
	«Valor absolut» o «mòdul d'un nombre complex» o «cardinalitat d'un conjunt»
	Nombre o Teoria de conjunts
∑	Sumatori	$\sum_{k=1}^n a_k$ significa «suma dels a_k per a k des de 1 fins a n», i representa a₁ + a₂ + ... + a_n	$\sum_{k=1}^4 k^2= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2= 30$
	«Suma de ... per a ... de ... a ...»
	Aritmètica
∏	Productori	$\prod_{k=1}^n a_k$ significa «producte de a_k per a k des de 1 fins a n», i representa : a₁·a₂·...·a_n	$\prod_{k=1}^4 (k+2)=3\times 4\times 5\times 6=360$
	«Producte de .. per a .. de .. a ..»
	Aritmètica
!	Factorial	$n!$ significa el producte $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$	$4!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4=24$
	«El factorial de n»
	Combinatòria
′	Derivada	$f^{\prime}(x)$ significa «derivada de f en x», i representa la inclinació de la tangent al gràfic de f en (x,f(x)).	Si $f (x) = x 2$ , llavors $f^{\prime}(x)=2x$
	«Derivada de ... en ...»
	Anàlisi
∂	Derivada parcial	Amb $f (x 1, x 2 .... x n)$ , ${\partial f \over \partial {x}_i}$ significa la derivada de f respecte a x_i», amb les altres variables tingudes constants.	Si $f (x, y, z) = x 2 y + 3 z$ , llavors ${\partial f \over \partial {x}}=2xy$
	«Derivada parcial respecte a ... de ... en ...»
	Anàlisi
	Frontera	Amb ${\partial}A$ s'individualitza la frontera del conjunt A.	Si ${\mathbb D}=\{z\in {\mathbb C}: \vert z\vert \leq 1\}$ , llavors ${\partial {\mathbb D}} =\{z\in {\mathbb C}: \vert z\vert = 1\}$
	«Frontera de ...»
	Anàlisi, topologia
∫	Integral	$\int_a^b f(x) dx$ significa «Integral de a a b de f de x dx», i representa l'àrea del domini delimitat mitjançant el gràfic de f, l'eix de les abscisses i les rectes d'equació x = a i x = b $\int f(x) dx$ significa «integral de f de x dx, i representa una primitiva de f	$\int_0^b x^2 dx = b^3/3$ $\int x^2 dx = x^3/3$
	«Integral (de .. a ..) de .. d-..»
	Anàlisi
∇	Gradient	$\nabla f$ és el vector de les derivades parcials $\left(\frac{\partial f}{\partial x_1} ... \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$	Si $f (x, y, z) = 3 x y + z 2$ llavors $\nabla f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$ .
	«Gradient de»
	Anàlisi