Nombre racional

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ Naturals ℕ Negatius Enters ℤ Racionals ℚ Irracionals Reals ℝ Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265... e ≈ 2,7182818284... Φ ≈ 1,6180339887... i :=

Nombres amb propietats destacables

Primers , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Transcendents

Extensions dels nombres complexos

Bicomplexos Hipercomplexos Quaternions Octonions Setenions Super-reals Hiper-reals Sub-reals

Nombres Especials

Nominals Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre) Cardinals Infinit Nombres infinits Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa Numerals en base constant: Binari (2) Quinari (5) Octal (8) Decimal (10) Duodecimal (12) Hexadecimal (16) Vigesimal (20) Sexagesimal (60)

S'anomena nombre racional a tot aquell nombre que pot ser expressat com a resultat de la divisió de dos nombres enters, amb el divisor diferent de 0. El conjunt dels racionals es denota ℚ () o Q, per quocient. Aquest conjunt de nombres conté el dels nombres enters i és un subconjunt dels nombres reals. Els reals que no pertanyen a aquest conjunt s'anomenen irracionals.

Els racionals es caracteritzen per tenir un desenvolupament decimal (o en qualsevol base) finit o periòdic, es dir que te un nombre de xifres decimals finit, o be que aquestes es repeteixen de manera regular.

Els nombres racionals compleixen la propietat de la densitat. Això vol dir que per a qualsevol parella de nombres racionals existeix algun altre nombre racional situat entre els dos a la recta real (). A més, és dens a , o sigui que entre dos reals diferents, sempre cap un racional. Es poden demostrar amb facilitat que el cardinal dels nombres racionals és el mateix que el dels enters, el que significa que no hi ha més racionals que enters.

Exemples:

En efecte, en dividir un enter per un altre, (p.ex 1 per 7) només existeixen un nombre finit de restes possibles (a l'exemple: 0,1,2,4,8,5,7). Essent la successió de restes infinita, apareixerà forçosament una mateixa resta en dues posicions diferents. A partir d'elles, el càlcul es repeteix igual, fins que eventualment s'arribi a obtenir una resta nul·la.

1.................|7

1 0.............. | 0,142857 1...

..30

....20

......60

........40

..........50

............10

(En negreta, les posicions que corresponen al mateix càlcul).

recíprocament, tot nombre amb un desenvolupament decimal finit o periòdic correspon a un racional. Exemple: Sigui a = 12,345 67 67 67 67 67 ...

Es repeteixen dues xifres; multipliquem a per 10² = 100.

100a = 1234, 567 67 67 67 67 ...

.....a = 12, 345 67 67 67 67 ...

En sostreure, se'n va tota la part periòdica:

100a - a = 1222,22 llavors a = 12222/9900.