Equilibri de Nash
De Viquipèdia
En teoria de jocs, un equilibri de Nash és un tipus de concepte de solució d'un joc en què participen dos o més jugadors i on cap d'ells té res a guanyar pel fet de canviar unilateralment la seva estratègia. En altres paraules, si cada jugador ha escollit una estratègia i cap jugador es pot beneficiar d'un canvi en la seva pròpia estratègia mentre els altres no la canviïn, llavors el conjunt actual d'estratègies escollides pels jugadors i llurs beneficis corresponents són un equilibri de Nash.
Com que l'equilibri de Nash es centra en les preferències de cada individu, es poden produir resultats antiintuïtius. Pot haver-hi un equilibri de Nash quan, si els jugadors poguessin coordinar-se, tots canviarien d'estratègia. El joc de la «caça del cérvol» és un exemple d'aquest fet.
El concepte d'equilibri de Nash no és original de John Forbes Nash, ja que Antoine Augustin Cournot demostrà com trobar allò que avui en dia anomenem equilibri de Nash per a la competició de Cournot. Per tant, alguns autors es refereixen a aquest concepte com a equilibri de Cournot-Nash o equilibri de Nash-Cournot. Tot i així, fou Nash qui demostrà per primera vegada, a la seva tesi Non-cooperative games (1950) que han d'existir equilibris de Nash per a qualsevol joc finit amb qualsevol nombre de jugadors. Fins llavors, el resultat només s'havia demostrat per a jocs de suma nul·la per a dos jugadors, gràcies a John von Neumann i Oskar Morgenstern (1947).
Taula de continguts |
[edita] Definició formal
Sigui (S, f) un joc, on S és el conjunt de perfils d'estratègia i f és el conjunt de perfils de beneficis. Sigui σ − i un perfil d'estratègia de tots els jugadors excepte per al jugador i. Quan cada jugador 
escull les estratègies xi que conformen el perfil d'estratègia x = (x1,...,xn) llavors el jugador i obté el benefici fi(x). Cal notar que el benefici depèn del perfil d'estratègia escollit, és a dir, de l'estratègia escollida pel jugador i així com de les estratègies escollides per tots els antres jugadors. Un perfil d'estratègia 
és un equilibri de Nash si cap desviació unilateral en l'estratègia de cap dels jugadors és profitosa, és a dir
Un joc pot tenir un equilibri de Nash d'estratègia pura o un equilibri de Nash en la seva extensió d'estratègia mesclada (en què s'escull una estratègia pura de forma estocàstica amb una freqüència determinada). Nash demostrà que, si es permeten estratègies mesclades, llavors tot joc d'n jugadors en què tot jugador pot escollir entre un nombre finit d'estratègies admet, com a mínim un equilibri de Nash.
[edita] Exemples
[edita] Joc de competició
| Jugador 2 tria '0' | Jugador 2 tria '1' | Jugador 2 tria '2' | Jugador 2 tria '3' | |
|---|---|---|---|---|
| Jugador 1 tria '0' | 0, 0 | 2, -2 | 2, -2 | 2, -2 |
| Jugador 1 tria '1' | -2, 2 | 1, 1 | 3, -1 | 3, -1 |
| Jugador 1 tria '2' | -2, 2 | -1, 3 | 2, 2 | 4, 0 |
| Jugador 1 tria '3' | -2, 2 | -1, 3 | 0, 4 | 3, 3 |
En una possible formulació d'un joc de benefici per a dos jugadors ambdós jugadors escullen simultàniament un número enter de 0 a 3; els dos jugadors guanyen un nombre de punts igual al menor dels dos números i, a més, si un jugador escull un número superior a l'altre haurà de donar dos punts al seu contrincant. Aquest joc te un únic equilibri de Nash: que tots dos jugadors escullin el 0 (indicat en vermell a la matriu de beneficis). Qualsevol altra elecció d'estratègies es pot millorar si un dels jugadors baixa el seu número a una unitat per sota de l'escollit per l'altre jugador. En la taula de la dreta, per exemple, si els jugadors comencen a la casella de color verd, el jugador 1 es beneficiaria movent-se a la casella porpra escollint un número menor mentre que el jugador 2 ho faria movent-se a la casella blava escollint també un número menor.
Si el joc es modifica de forma que els dos jugadors guanyen la quantitat escollida si escullen el mateix número i en cas contrari no guanyen res, llavors hi ha quatre equilibris de Nash.
[edita] Coordination game
| El jugador 2 adopta l'estratègia 1 | El jugador 2 adopta l'estratègia 2 | |
|---|---|---|
| El jugador 1 adopta l'estratègia 1 | A, A | B, C |
| El jugador 1 adopta l'estratègia 2 | C, B | D, D |
El joc de coordinació és un joc simètric de dos jugadors i dues estratègies, amb la matriu de beneficis que es mostra al costat i en la qual els beneficis compleixen A > C i D > B. D'aquesta manera els jugadors han de cooperar en una de les dues estratègies per aconseguir un benefici elevat; si no cooperen obtindran un benefici menor.
