郎蘭茲綱領
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郎蘭茲綱領是數學中一系列影響深遠的構想,聯繫數論、代數幾何與约化群表示理論;綱領最初由羅伯特·郎蘭茲於1967年在一封給韦伊的信件中提出。
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[编辑] 起源:數論
吾人可以二次互反律之推廣阿廷互反律為郎蘭茲綱領之起點: 給定一個Q上的、伽羅瓦群為可交換群的數域,阿廷互反律向這個伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚L函數,並斷言:此等 L-函數俱等於某些 狄利克雷L函數(黎曼ζ函數的類推,由狄利克雷特徵表達)。此二種L-函數之間的準確的聯繫構成了阿廷互反律。
若給定不可交換伽羅瓦群及其高維表示,吾人仍可定義一些自然的相配的L-函數——阿廷L函數。
[编辑] 推廣:自守表示理論架構
郎蘭茲洞察到:當找到適當的狄利克雷L-函數的推廣,便有可能推廣阿廷互反律。
赫克 (Erich Hecke)曾聯繫全純自守形式(定義於上半複平面上、滿足某些函數方程的全純函數)與狄利克雷L函數。郎蘭茲推廣赫克理論,以應用於自守尖點表示(自守尖點表示是Q-阿代爾環上一般線性群 GLn 的某類無限維不可約表示)。
郎蘭茲為這些自守表示配上L-函數,然後猜想:
- 互反猜想. 每一來自給定數域的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷 L-函數,都相等於某一來自自守尖點表示的L-函數。
若要建立一一對應,須考慮較伽羅瓦群的適當擴張,稱作韋依-德利涅群。在可交換的例子,這相當於將狄利克雷特徵推廣為赫克特徵(德文舊稱 Größencharakter)。互反猜想蘊含阿廷猜想。
[编辑] 再推廣:函子性原則
郎蘭茲再進一步推廣:
- 以任何連通约化群 G 代替上文中的一般線性群 GLn;
- 構築複李群 LG (所謂郎蘭茲對偶群,或L群);
- 以自守表示的L包代替自守表示;每個L包是自守表示組成的有限集,屬同一L包的表示稱作L不可辨的。
- 向每一個 G的自守尖點表示和每一個 LG的有限維表示,配與一個L-函數;同一L包中的表示有相同的 L-函數及 ε-因子。郎蘭茲並猜想:此兩個 L-函數滿足某函數方程。
郎蘭茲更構想了一道非常廣泛的函子性原則 (Functoriality Principle):
- 函子性猜想. 若指定二约化群,並指定其相應的L群之間的可容許同態,則二约化群的自守表示之間應該有某種與其 L-函數相容之關係。
函子性猜想蘊含廣義拉馬努金猜想。
函子性構想本質上是一種誘導表示構造(在传统的自守形式理论中称为提升,在某些特殊情况下已知),因而是協變的(相反地,受限表示構造是逆變的)。各種直接構造的嘗試只產生了一些條件性的结果。
上述各猜想亦有其他域上的版本: 數域(最早期的版本)、局部域及函數域 ( 即Fp(t)的有限擴張; 其中p 是一 素數 , Fp(t) 是 p 元有限域上的有理函數域)。局部域的與數域的郎蘭茲綱領滿足一些相容性,二者之方法亦互為用。
[编辑] 郎蘭茲綱領的指導思想
郎蘭茲綱領建基於當時已存在的念頭:盖尔芳特之前幾年寫的 《尖點形式之啟示》(The Philosophy of Cusp Forms);哈瑞希·昌得拉(en:Harish-Chandra)研究 半單李群 的結果和方法;而技術上則有塞爾伯格等的塞爾伯格迹公式。
郎蘭茲的創見,除技術之深以外,在於他提出上述理論與數論的直接聯係, 以及其構想中豐富的總體結構(即所謂函子性者也)。
例如在哈瑞希·昌得拉的工作中,吾人可見以下原則:
- 「任何對某一半單(或约化)李群可能做的,應對所有都做。」
故一旦認清一些低維李群 —如 GL2 —在模形式理論之角色,並反觀 GL1 在類域論之角色,吾人至少可推測一般 GLn 的情況。
尖點形式之念頭來自模曲線上的尖點,在譜理論上對應於離散譜;對比之下連續譜則來自艾森斯坦級數。但當給定的李群越大,則拋物子群越多,技術上則越複雜。
在此等研究途徑中不乏各種技巧——通常基於列維分解等事實、具誘導表示的性質 ——但這領域一直都很困難。
在模形式方面,亦有例如希爾伯特模形式、 西格爾模形式 和 theta-級數等等面向。
[编辑] 內窺現象
內窺(Endoscopy)意謂「在一般共軛中窺見穩定共軛」;共軛意謂群的共軛作用 ;穩定共軛則意謂可取 ;穩定共軛類可分解為有限個一般共軛類。穩定共軛與一般共軛之別造成上述的L-不可辨性。
亞瑟-塞爾伯格跡公式是處理函子性猜想及志村簇的哈瑟-韋伊ζ函數之利器。在技術上,吾人需要一穩定跡公式,穩定化有賴於將 G 之一般軌道積分表成內窺群上的穩定軌道積分。內窺理論旨在配對群及其內窺群的軌道積分,稱作內窺傳遞;其關鍵則是所謂的基本引理。
內窺傳遞不僅是工具,也涵攝函子性猜想的一些特例。
[编辑] 幾何化郎蘭茲綱領
數域上的郎蘭茲綱領可以翻譯到幾何的框架,大略步驟如下:
[编辑] 幾何化郎蘭茲綱領與規範場論
2006年,愛德華·威滕和 Anton Kapustin 建議:
- 以D-膜 演譯赫克本徵層;
- 以磁單極演譯 赫克算子。
[编辑] 參考
- Edward Frenkel, Recent Advances in the Langlands Program
- Edward Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory
- Anton Kapustin, Edward Witten, Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program
- Geometric Langlands Seminar
- Geometric Langlands Program
[编辑] 部份結果
部份郎蘭茲綱領的項目已經完成。
- GLn 關於局部域的部份:由 Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成;Henniart亦導出了一較簡短的證明。
- 關於 GLn 關於函數域上的部份:1999年洛朗·拉福格證明之[1]。
[编辑] 獎項
洛朗·拉福格憑其在函數域上的工作獲得2002年菲爾茲獎。拉福格的工作延續了較早期的德林費爾德得菲爾茲獎(1990)的研究。數域方面只有一些特例被證明了,有些是郎蘭茲自己完成的。
郎蘭茲
[编辑] 參考
- Corvallis Proceedings (1979) A.Borel, W. Casselman(編輯), AMS, ISBN 0-8218-3371-2 (網上書,免費)
- Stephen Gelbart: An Elementary Introduction to the Langlands Program, Bulletin of the AMS v.10 no. 2 April 1984.
- J. Arthur: The Principle of Functoriality; pp.39-53, No. 1, Volume 40, Bulletin of the AMS; October, 2002.
- Edward Frenkel: Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, hep-th/0512172
- J. Bernstein, S. Gelbart, An Introduction to the Langlands Program, ISBN 3764332115
- Summer School, Toronto,June 2003-- Audio and notes
- Conference, Princeton, 2005 -- Video
- Michèle Vergne, All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask, 2006.