Theta 函數

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數學中， Theta 函數 為一種多複變特殊函數。其應用包括阿貝爾簇^[1]與模空間、二次形式^[2]、孤立子^[3]理論；其格拉斯曼代數^[4]推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜^[5]理論。

Theta 函數最常見於楕圓函數理論。相對於其「z」變量，theta 函數有種「擬周期」性^[6] 。在一般下降理論^[7]中，此來自線叢條件。

[编辑] 雅可比 theta 函數

雅可比 theta 函數取二變量 z 與 τ，其中 z 為任何複數，而 τ 為上半複平面上一點；此函數之定義為：

$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z)$ 。

若固定 τ，則此成為一週期為 1 之單變量(z)整函數之富里埃展開式：

$\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau)$ 。

在以 τ 位移時，此函數符合：

$\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\vartheta(z;\tau)$ ；

其中 a與b為整數。

[编辑] 輔助函數

吾人可定義輔助函數：

$\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+1/2;\tau)$

$\vartheta_{10}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z+\tau/2;\tau)$

$\vartheta_{11}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i (z+1/2))\vartheta(z+(\tau+1)/2;\tau).$

其中符號依黎曼與Mumford之習慣；雅可比之原文用變量^[8] $q = exp(π i τ)$ 替換了 τ，而稱本文之 theta 為 $θ 3$ ， $\vartheta_{01}$ 為 $θ 0$ ， $\vartheta_{10}$ 為 $θ 2$ ， $\vartheta_{11}$ 為 $- θ 1$ 。

若設 z = 0 ，則吾人可從以上獲得四支單以 τ 為變量之函數，其中 τ 取值於上半複平面。此等函數人稱「 theta 『常量』」^[9]；吾人可以用 theta 函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由「雅可比恆等式」可得：

$\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4$ ,

是為四次費馬曲線。

[编辑] 雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模羣在theta 函數之作用；模羣之生成元為 T: τ ↦ τ+1 與 S: τ ↦ -1/τ 。吾人已有 T 作用之式。設

α = ( - i τ) 1 / 2 exp(π i z 2 τ).

則

$\vartheta (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta(z; \tau)$

$\vartheta_{01} (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)$

$\vartheta_{10} (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)$

$\vartheta_{11} (z/\tau; -1/\tau) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)$

[编辑] 以 nome q 表示 theta 函數

吾人可用變量 w 與 q^[10] ，代替 z 與 τ，來表示 ϑ。設 $w = exp(π i z)$ 而 $q = exp(π i τ)$ 。則 ϑ 可表示為：

$\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$

而輔助 theta 函數可表示為：

$\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},$

$\vartheta_{10}(w; q) = q^{1/4} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},$

$\vartheta_{11}(w; q) = i q^{1/4} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.$

此表示式不需指數函數，故適用於指數函數無每一處定義之域，如p 進數域^[11]

[编辑] 乘積表示式

雅可比三重積恆等式^[12]曰：若有複數 w and q，其中 |q| < 1 而 w ≠ 0 ，則

$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right) \left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$

此式可以基本方法證，如 Hardy 與 Wright 之《An Introduction to the Theory of Numbers》。

若用 nome變量 $q = exp(π i τ)$ 與 $w = exp(π i z)$ 表示，則有

$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.$

故得 theta 函數之積公式

$\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)$

三重積等式左邊可擴展成

$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),$

即

$\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)$ 。

此式在 z 取實值時尤為重要。各輔助 theta 函數亦有類似之積公式：

$\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).$

$\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

$\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).$

[编辑] 積分表示式

雅可比 theta 函數可用積分表示，如下：

$\vartheta (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du$

$\vartheta_{01} (z; \tau) = -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.$

$\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$

$\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4} \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du$

[编辑] 與黎曼 zeta 函數之關係

黎曼嘗用關係式

$\vartheta(0;-1/\tau)=(-i\tau)^{1/2} \vartheta(0;\tau)$

以證黎曼 zeta 函數之函數方程。他寫下等式：

$\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-s/2} \zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right] t^{s/2}\frac{dt}{t}$ ；

而此積分於替換 $s \to 1-s$ 下不變。 z 非零時之積分，在Hurwitz zeta 函數一文有描述。

[编辑] 與 Weierstrass 楕圓函數之關係

雅可比用 theta 函數來構造楕圓函數，並使其有易於計算之形式。他表示他的楕圓函數成兩枚上述 theta 函數之商。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比 theta 構造：

$\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c$

其中二次微分相對於 z，而常數 c 使 $\wp(z)$ 之 Laurent 級數（於 z = 0）常項為零。

[编辑] 與模形式之關係

設 η 為 Dedekind eta 函數。則

$\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}$ .

[编辑] 解熱方程

雅可比 theta 函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。設 z = x 取實值，τ = it 而t 取正值。則有

$\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)$

此解此下方程：

$\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)$ 。

於 t = 0 時， theta 函數成為「Dirac 梳」^[13]

$\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)$ ，

其中 δ 為 Dirac delta 函數，故可知此解是唯一的。因此, 一般解可得自 t = 0 時之（週期）邊界條件與 theta 函數之卷積。

[编辑] 與海森堡羣之關係

雅可比 theta 函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之theta 表示一文。

[编辑] 推廣

若F為一n元二次式，則有一關連之 theta 函數

$\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))$

其中 Zⁿ 為整數格。此 theta 函數是模羣（或某適當子羣）上的權 n/2 模形式。在其富理埃級數

$\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)$

中，R_F(k) 稱為此模形式之「表示數」^[14]。

[编辑] Ramanujan theta 函數

見主文Ramanujan theta 函數與 mock theta 函數

[编辑] 黎曼 theta 函數

設

$\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}$

為一集對稱方矩陣，其虚部為正定。吾人稱H_n 為 Siegel 上半平面，為上半複平面之高維推廣。模羣之n維推廣為辛羣 Sp(2n,Z)：當n = 1 時， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。 Congruence 子羣之n維推廣為態射核 $\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}$ 。

若設定 $\tau\in \mathbb{H}_n$ ，則可定義黎曼 theta 函數：

$\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)$ ；

其中 $z\in \mathbb{C}^n$ 為一 n維複向量，上標T為轉置。然則雅可比 theta 函數為其特例（設n = 1、 $\tau \in \mathbb{H}$ ；其中 $\mathbb{H}$ 為上半平面）。

在 $\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.$ 的緊致子集上，黎曼 theta 函數絶對一致收歛。

函數方程為：

$\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i \left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)$ ；

此方程成立於 $a,b \in \mathbb{Z}^n$ , $z \in \mathbb{C}^n$ ， $\tau \in \mathbb{H}_n$ 。

[编辑] q-theta 函數

參見主文q-theta 函數。

[编辑] 參攷

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 Template:Please check ISBN . (See section 16.27ff.)
Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 683-07196-3 Template:Please check ISBN.

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[编辑] 註

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