תוכנית לנגלנדס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכנית לנגלנדס היא מארג של משפטים והשערות מרחיקות לכת המקשרות תחומים מרכזיים בתורת המספרים האלגברית ובתורת ההצגות. את התוכנית הציע רוברט לנגלנדס ב-1967, והיא מהווה מסגרת לחלק נכבד מן המחקר המודרני בתורת המספרים. על יצירת התוכנית זכה רוברט לנגלגדס בפרס וולף למתמטיקה ב-1996, ובפרס נמרס ב-2006.

הרעיון המרכזי של תוכנית לנגלנדס הוא לשייך יצירים אנליטיים (פונקציות L, שכמו אחותן המוכרת פונקציית זטא של רימן, הן טורי דיריכלה עם מכפלת אוילר מתאימה), לעצמים האלגבריים שאותם חוקרים.

[עריכה] מבוא

[עריכה] חבורת גלואה האבסולוטית

התוכנית סובבת סביב חבורות גלואה האבסולוטיות של השדות ה"אריתמטיים": השדות המקומיים והשדות הגלובליים. חבורת גלואה האבסולוטית $\ \Gamma_k$ של שדה $\ k$ מקודדת בתוכה את כל ההרחבות הסופיות של k, וקושרת את המושגים הבסיסיים של תורת המספרים: אידיאלים ראשוניים, הערכות, פונקציות L, תבניות מודולריות, ועוד. לכל אלה יש מבנה פנימי חבוי, הנחשף כאשר מתבוננים בהם מנקודת המבט של חבורת גלואה האבסולוטית.

אחת המטרות של תורת המספרים המודרנית, ואפשר שהמרכזית שבהן, היא להבין את המבנה של חבורות גלואה האבסולוטיות. אלו חבורות פרו-סופיות, ולכן אפשר לפענח אותן באופן מלא דרך ההצגות מממד סופי - ההומומורפיזמים $\ \rho : \Gamma_k \rightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ . אם k הוא שדה מספרים, אפשר להצמיד לכל הצגה כזו פונקציית L של ארטין, $\ L(s,\rho)$ .

[עריכה] תורת שדות המחלקה

ההישג העיקרי של תורת שדות המחלקה, שייסד הילברט, הוא התאור של המנה האבלית המקסימלית של חבורת גלואה האבסולוטית - האבליניזציה שלה, $\ \Gamma_k/[\Gamma_k,\Gamma_k]$ . מסמנים ב- $\ k^{ab}$ את "הסגור האבלי" של k: זהו השדה הגדול ביותר שחבורת גלואה שלו מעל k היא אבלית; כך יוצא שחבורת גלואה של ההרחבה $\ k^{ab}/k$ היא האבליניזציה של $\ \Gamma_k$ .

אם k מקומי, החבורה $\ \operatorname{Gal}(k^{ab}/k)$ איזומורפית באופן קנוני להשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית $\ k^{\times}$ . אם k שדה גלובלי, חבורת גלואה של הסגור האבלי איזומורפית ל- $\ \mathbb{A}_k^{\times}/k^{\times}$ , כאשר $\ \mathbb{A}_k$ הוא חוג האדלים של k ((החוג הזה אורז יחד את כל ההשלמות $\ {k}_p$ של השדה k).

[עריכה] פונקציות L

כנקודת המוצא של התוכנית אפשר לראות את חוק ההדדיות של אמיל ארטין, המכליל את חוק ההדדיות של גאוס על שאריות ריבועיות. החוק של ארטין חל על הרחבות גלואה אבליות של שדות מספרים, ומתאים פונקציות מיוחדות הנקראית "פונקציות L של ארטין" להצגות חד-ממדית של חבורת גלואה של ההרחבה. בנוסף לזה, החוק קובע התאמה מדוייקת בין פונקציות L אלה, לפונקציות L אחרות הקרויות "פונקציות L של דיריכלה".

ההתאמה של ארטין עוסקת, כאמור, דווקא בהרחבות עם חבורת גלואה אבלית. עם זאת, את פונקציות ה-L של ארטין אפשר להגדיר גם כאשר החבורה אינה אבלית, לכל הצגה אי-פריקה של החבורה.

באותו אופן, להצגות אוטומורפיות $\ \pi$ של $\ \mathbb{A}_k^{\times}/k^{\times}$ , מתאימות פונקציות L משלהן, $\ L(s,\pi)$ ; בזכות הפירוק של פונקציות אלה למרכיבים מקומיים (המתאימים להשלמות של k לשדות מקומיים), התכונות האנליטיות שלהן מובנות היטב.

[עריכה] הצגות אוטומורפיות

הרעיון המרכזי שהציע לנגלדס הוא למצוא את ההכללה המתאימה לפונקציות L של דיריכלה, באופן שאפשר יהיה להשוות אותן לפונקציות L של ארטין לכל הרחבת גלואה, לאו דווקא אבלית.

זמן רב קודם לכן, הצליח אריך הקה לשייך פונקציית L של דיריכלה לכל תבנית אוטומורפית (שהיא פונקציה הולומורפית על חצי המישור העליון, המקיימת משוואות פונקציונליות מסויימות). לנגלנדס הכליל את הבניה הזו להצגות אוטומורפיות קספידליות, שהן הצגות אי-פריקות מסויימות מממד אינסופי של החבורה הליניארית הכללית $\ \operatorname{GL}_n$ מעל חוג האדלים $\ \mathbb{A}_{\mathbb{Q}}$ של הרציונליים.

לנגלנדס הצמיד פונקציות L להצגות האוטומורפיות האלה, ושיער שכל פונקציית L של ארטין המתאימה להצגה מממד סופי של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים - שווה לפונקציית L המתאימה להצגה אוטומורפית קספידלית. זוהי "השערת ההיפוך" של לנגלנדס.

[עריכה] התאמת לנגלנדס

התאור שניתן לעיל לחבורת המנה האבלית המקסימלית $\ \Gamma_k/[\Gamma_k,\Gamma_k]$ שקול להבנת ההצגות האבליות של החבורה $\ \Gamma_k$ עצמה, כלומר, ההצגות החד-ממדיות שלה. לנגלנדס הציע את ההמשך הטבעי לגישה זו, היינו, נסיון לתאר את ההצגות ה-n ממדיות, עבור $\ n>1$ . באופן תמציתי ולא מדוייק, השערות לנגלנדס מציעות התאמה טבעית בין ההצגות ה-n-ממדיות של $\ \Gamma_k$ לבין הצגות אוטומורפיות (מממד אינסופי) של החבורה הליניארית הכללית $\ \operatorname{GL}_n(k)$ במקרה המקומי, ושל $\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{A}_k)$ ) במקרה הגלובלי. בנוסף לכך, ההתאמה אמורה לשמור על פונקציות L, דהיינו (על-פי ההשערה), פונקציית L המתאימה להצגה של חבורה גלואה, תהיה שווה לפונקצית L המתאימה להצגות האדליות של החבורה הליניארית הכללית.

מבין פונקציות L האחרונות, כל אלו המוכרות למתמטיקאים נבנות כטרנספורמי מלין של תבניות מודולריות, המתארות אספקט מסויים של קוהומולוגיית דה-רם של מרחבים מודולריים מסויימים; באותה עת, הצגות גלואה מקודדות את ה-etale cohomology של אותם מרחבים.

במקרה החד-ממדי, n=1, תאור זה הוא הבסיס לגישה האנליטית אל תורת שדות המחלקה. לכן אפשר לראות בהתאמת לנגלנדס, מחד, תורת שדות מחלקה לא אבלית, ומאידך, פרמטריזציה אריתמטית של הצגות אדמיסיביליות (במקרה המקומי) או אוטומורפיות (במקרה הגלובלי).

[עריכה] ההשערה המקומית

[עריכה] חבורת וייל-דלין

נניח ש- F הוא שדה מקומי. בהמשך לתאור הקודם על ההצגות המרוכבות של $\ \Gamma_F$ , כלומר, ההומומורפיזמים $\ \Gamma_F \rightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ , אפשר ללמוד את החבורה גם דרך הצגות אל הסגור האלגברי של שדה המספרים ה- $\ \ell$ -אדיים, כאשר $\ \ell$ שונה מן המאפיין של שדה השאריות של F. לצורך כך הציג אנדרה וייל חבורה $\ W_F$ עם המומורפיזם $\ W_F \rightarrow \Gamma_k$ שיש לו תמונה צפופה, ובאופן כזה כל הצגה (רציפה) של $\ \Gamma_F$ היא גם הצגה של $\ W_F$ . כדי להתאים את התמונה גם להתנהגות של שדות מקומיים ארכימדיים, P. Deligne הגדיר את "חבורת וייל-דלין" $\ W'_F$ , שחבורת וייל היא חבורת מנה שלה.

השערת לנגלנדס המקומית עוסקת בהצגות של $\ W'_F$ .

[עריכה] פרטי ההשערה המקומית

ההשערה המקומית של לנגלנדס מתייחסת להתאמה בין הצגות n-ממדיות של $\ W'_F$ , כאשר F שדה מקומי, לבין הצגות "מותרות" (admissible representations) מרוכבות אי-פריקות של חבורת המטריצות $\ \operatorname{GL}_n(F)$ .

ההתאמה בין הצגה n-ממדית $\ \rho = \rho_\pi$ של חבורת וייל-דלין לבין הצגה $\ \pi = \pi_{\rho}$ של חבורת המטריצות $\ \operatorname{GL}_n(F)$ , אמורה לקיים את התכונות הבאות:^[1]

עבור n=1, ההתאמה נתונה על-ידי האיזומורפיזם הסטנדרטי של תורת שדות המחלקה המקומית.
הקרקטר המרכזי של $\ \pi_{\rho}$ מתאים, תחת ההתאמה של מימד 1, לדטרמיננטה $\ \det(\rho)$ .
אם $\ \chi$ קרקטר של F, אז $\ \rho_{\pi \otimes \chi} = \rho \otimes \chi$ .
$\ \pi_{\rho}$ היא אינטרגבילית-בריבוע אם ורק אם $\ \rho(W'_F)$ איננה מוכלת באף תת-חבורת לוי של $\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ .
$\ \pi_{\rho}$ "מאולפת" (מגדירה פונקציות בחיתוך המרחבים $\ L^{2+\epsilon}$ ) אם ורק אם $\ \rho(W_F)$ חסומה.
אם H חבורה רדוקטיבית קשירה עם הומומורפיזם $\ H(F) \rightarrow \operatorname{GL}_n(F)$ שיש לו גרעין וקו-גרעין קומוטטיביים, אז יש התאמה דומה עבור ההצגות של $\ H(F)$ , המתיישבת עם ההתאמות עבור חבורות המטריצות.

בניסוח זה של ההשערה לא מופיעות פונקציות L. השערה נוספת (שניסחו לנגלנדס ו-Jacquet ב- 1970, ודלין ב-1973), קובעת גם התאמה בין פונקציות L של המרכיבים בהתאמה הקודמת, ובפרט אמור להתקיים $\ L(s,\rho_\pi \otimes \rho_{\pi'}) = L(s,\pi \times \pi')$ לכל שתי הצגות אי-פריקות $\ \pi,\pi'$ של חבורות המטריצות $\ \operatorname{GL}_n(F)$ ו- $\ \operatorname{GL}_{n'}(F)$ , בהתאמה.

[עריכה] מעמדה של ההשערה המקומית

מאז הועלתה על-ידי לנגלנדס ב-1970, נפתרה השערה זו לחלוטין.

את המקרה הראשון, הקל ביותר, פתר לנגלנדס עצמו ב-1973. מדובר בשדות המקומיים הארכימדיים, שדה הממשיים $\ \mathbb{R}$ ושדה המספרים המרוכבים $\ \mathbb{C}$ , שעבורם חבורת גלואה האבסולוטית היא מסדר 1 או 2. במקרה זה צד אחד של השקילות (זה העוסק בהצגות של חבורת גלואה האבסולוטית) מובן לחלוטין, והבעיה היתה להוכיח שהצד השני שלה מתנהג בהתאם.

את המקרה של שדות לא ארכימדיים במאפיין חיובי פתרו Laumon-Rappaport-Stuhler בראשית שנות ה-90, ואת המקרה הנותר, של שדות לא ארכימדיים במאפיין 0, פתרו Harris-Taylor ו-Henniart בסוף שנות ה-90.

[עריכה] ההשערה הגלובלית

ההשערה הגלובלית עוסקת, כאמור, בהתאמה בין הצגות של $\ \Gamma_k$ , כאשר k שדה גלובלי, לבין הצגות אוטומורפיות של חבורת המטריצות $\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{A}_k)$ . פייר דלין זכה במדליית פילדס לשנת 1978 עבור פתרון חלקי של ההשערה עבור החבורה $\ \operatorname{GL}_2$ עבור שדות גלובליים ממאפיין אפס, שכלל את פענוח ההצגות של חבורה זו באופן שיישב את השערת רמנוג'ן. ולדימיר דרינפלד הוכיח חלקים מן ההשערה עבור החבורה $\ \operatorname{GL}_2$ עבור שדות גלובליים ממאפיין חיובי, וזכה במדליית פילדס לשנת 1990. הרחבה משמעותית של עבודה זו, לכל החבורות $\ \operatorname{GL}_n$ (במאפיין חיובי), זיכתה את לורן לפורג (Laurent Lafforgue) במדליית פילדס לשנת 2002.

[עריכה] עקרון הפונקטוריאליות

בתורת החבורות האלגבריות מבינים את החבורות הליניאריות $\ \operatorname{GL}_n$ כמקרים פרטיים של התאוריה הכללית של חבורות רדוקטיביות, ותוכנית לנגלנדס לוקחת נקודת מבט זו בחשבון. לכל חבורה רדוקטיבית קשירה G, לנגלנדס הצמיד את חבורת לנגלנדס $\ {}^L{}G$ . לנגלנדס מצא דרך להתאים לכל הצגה קספידלית אוטומורפית של G ולכל הצגה סוף-ממדית של $\ {}^L{}G$ , פונקציית L. על-פי ההשערה, פונקציות L אלה מקיימות משוואה פונקציונלית, המכלילה את אלו המוכרות מפונקציות L אחרות.

"עקרון הפונקטוריאליות" משדך את פונקציות L של החבורות הרדוקטיביות השונות. בהנתן שתי חבורות רדוקטיביות $\ G, H$ ומורפיזם $\ {}^LG \rightarrow {}^LH$ בין חבורות ה-L שלהן, ההשערה מתאימה בין ההצגות האוטומורפיות של שתי החבורות, בדרך המתיישבת עם פונקציות L המתאימות להן. זוהי השערה חזקה מאד, שממנה נובעות כל האחרות שהוצגו עד כאן. מטבען של ההצגות המושרות. נסיונות להציע בניה ישירה של הפונקטור הניבו עד כה רק תוצאות חלקיות ומותנות.

[עריכה] רקע הסטורי

תוכנית לנגלנדס לא צמחה בחלל ריק. בדיעבד, אפשר לזהות לה מקורות השראה אפשריים אחדים.

אחד מאלה הוא הצעתם של המתמטיקאים האריש-צ'נדרה וישראל גלפנד שאפשר לבנות הצגות של חבורות לי באינדוקציה מהצגות קאספידליות של תת-חבורות פרבוליות, ברוח עבודותיו של האריש-צ'נדרה על חבורות לי פשוטות למחצה. מקור אחר הוא נוסחאות העקבה של סלברג ואחרים.

החידוש הגדול בתוכנית של לנגלנדס, מלמבד העומק הטכני, היה ההצעה לקשר ישיר בין תורת ההצגות לתורת המספרים, יחד עם ארגון עשיר בפרטים של ההשערות (ה"פונקטוריאליות").

לדוגמא, בעבודות של האריש-צ'נדרה אפשר למצוא את העקרון שלפיו טכניקה שהצליחה עבור חבורת לי פשוטה למחצה (או אף חבורה רדוקטיבית) אחת, אמורה להצליח לכולן. לפיכך, ברגע שהובן התפקיד שממלאות כמה חבורות לי מדרגה נמוכה, כמו $\ \operatorname{GL}_2$ , בתאוריה של תבניות מודולריות (ובדיעבד אפשר לראות ב- $\ \operatorname{GL}_1$ את המקרה של תורת שדות המחלקה), הדרך היתה פתוחה לפחות לשער כיצד נכנסת לתאוריה $\ \operatorname{GL}_n$ ל- n כללי.

הרעיון לבנות על תבניות חוד (cusp forms) הגיע מן התבניות האלה בעקומים מודולריים, אבל היה להן תפקיד מוחשי גם בתורה הספקטרלית, בתור "ספקטרום בדיד" של מרחב ההצגות, בהשוואה לספקטרום הרציף שאותו מסבירות סדרות אייזנשטיין. עבור חבורות לי מדרגה גבוהה יותר, המיון נעשה הרבה יותר מורכב, משום שיש יותר תת-חבורות פרבוליות שצריך לקחת בחשבון.

בכל הגישות האלה לא היה מחסור בשיטות טכניות, בדרך כלל אינדוקטיביות באופיין ומבוססות על פירוק לוי של חבורות לי, למשל, אבל התחום בכללו היה מאז ומעולם קשה ביותר, והוא עדיין נחשב לכזה.

בתבניות המודולריות אפשר לראות הכללות של התבניות המודולריות של הילברט, התבניות המודולריות של זיגל, ואף פונקציות תטא.

[עריכה] התוכנית הגאומטרית

"תוכנית לנגלנדס הגאומטרית", שהוצעה על-ידי ג'רארד למון בעקבות רעיונות של ולדימיר דרינפלד, עולה מניסוח גאומטרי של תוכנית לנגלנדס המקורית, האלגברית. במקרים פשוטים, היא מקשרת את ההצגות ה- $\ \ell$ -אדיות של "חבורה יסודית etale-ית" של עקום אלגברי, לאובייקטים של הקטגוריה הנגזרת של אלומות $\ \ell$ -אדיות על ה- moduli stack של אגדים וקטוריים של היריעה.

[עריכה] הערות שוליים

^ על-פי הניסוח של A. Borel ב- (Automorphic L-functions, Proc. Symp. Pure math. 33(2), 27--61, (1979. ראו מקור 4 לעיל. ‏

[עריכה] מקורות

James Arthur: The Principle of Functoriality, Bulletin of the AMS v.40 no. 1 October 2002
Stephen Gelbart: An Elementary Introduction to the Langlands Program, Bulletin of the AMS v.10 no. 2 April 1984.
Edward Frenkel: Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, hep-th/0512172
J. Bernstein, S. Gelbart, An Introduction to the Langlands Program, ISBN 3-7643-3211-5, ובפרט פרק 10, Langlands conjectures for GL_n, מאת Jim Cogdell.
I.M. Gelfand, `Automorphic functions and the theory of representations', in Proceedings, International Congress of Mathematicians, Stockholm, 1962, pp. 74-85.,
הרצאתו של Yuri Manin בטקס הענקת מדליית פילדס ל-Drienfeld, 1990, [1].

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.