Неравенство Гёльдера
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Нера́венство Гё́льдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств Lp.
Содержание |
[править] Формулировка
Пусть — пространство с мерой, а — пространство функций вида с конечной интегрируемой p-ой степенью. Тогда в последнем определена норма
- .
где , обычно подразумевается, что это натуральное число.
Пусть , а , где . Тогда , и
- .
[править] Частные случаи
[править] Неравенство Коши — Буняковского
Положив p = q = 2, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L2.
[править] Евклидово пространство
Рассмотрим Евклидово пространство или . Lp-норма в этом пространстве имеет вид:
- ,
и тогда
- .
[править] Пространство lp
Пусть — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что
- ,
называется lp. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:
- .
[править] Вероятностное пространство
Пусть — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным p-м моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:
- .
[править] См. также
- Пространство Lp
- Гёльдер, Отто
- Неравенство Юнга
- Неравенство Минковского