Векторное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Правые и левые тройки векторов
2 Определение
3 Свойства
4 Размерности, не равные трем
5 См. также
6 Ссылки

[править] Правые и левые тройки векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

[править] Определение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение: $\vec c = \left[ \vec a \vec b \right] = \left[ \vec a, \vec b \right] = \vec a \times \vec b$

В различных учебных заведениях определение векторного произведения даётся по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах. А далее выводится данное выше определение.

[править] Свойства

[править] Геометрические свойства векторного произведения

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b
Если e - единичный вектор, ортогональный векторам a и b, а S - площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

$[ \vec a, \vec b ] = S\ \vec e$

Если c - какой-нибудь вектор, π - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула

$\left[ \vec a, \vec c \right] = Pr_{ \vec e } \vec a \left| \vec c \right| \vec g$

[править] Алгебраические свойства векторного произведения

$\left[ \vec a, \vec b \right] = - \left[ \vec b, \vec a \right]$ (свойство антикоммутативности);
$\left[ \left(\alpha \vec a \right), \vec b \right] = \left[ \vec a, \left(\alpha \vec b \right) \right] = \alpha \left[ \vec a, \vec b \right]$ (свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр);
$\left[ \left( \vec a + \vec b \right), \vec c \right] = \left[ \vec a, \vec c \right] + \left[ \vec b, \vec c \right]$ (свойство дистрибутивности по сложению);
$\left[ \left[ \vec a, \vec b \right], \vec c \right] + \left[ \left[ \vec b, \vec c \right], \vec a \right] + \left[ \left[ \vec c, \vec a \right], \vec b \right]= 0$ (тождество Якоби);
$\left[ \vec a, \vec a \right] =\vec 0$ для любого вектора a.
$\left[ \vec a , \left[ \vec b , \vec c \right] \right]~=~\vec b (\vec a , \vec c) - \vec c (\vec a , \vec b)$ (формула "БАЦ минус ЦАБ", тождество Лагранжа)
$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 + |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2.$

Это частный случай мультипликативности $|\mathbf{vw}| = |\mathbf{v}| |\mathbf{w}|$ нормы кватернионов.

[править] Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора а и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее - представлены в ортонормированном базисе

$\vec a = \left\{ a_x,~ a_y,~ a_z \right\}~ ~ \vec b = \left\{ b_x,~ b_y,~ b_z \right\}$

то иx векторное произведение имеет вид

$[ \vec a, \vec b ] = \left\{a_y b_z - a_z b_y,~ a_z b_x - a_x b_z,~ a_x b_y - a_y b_x \right\}$

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя :

$[ \vec a, \vec b ] = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

или $[ \vec a, \vec b ]_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k$ , где $\varepsilon_{ijk}$ - символ Леви-Чивиты.

[править] Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы i, j, k - стандартные обозначения для ортов в $\mathbf{R}^3$ : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между i, j, и k соотвествуют правилам умножения для кватернионов i, j, и k. Если представить вектор [a₁, a₂, a₃] как кватернион a₁i + a₂j + a₃k, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

[править] Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times} \mathbf{b} = \begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,a_2\\ \,\,a_3&0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}$

$\mathbf{b} \times \mathbf{a} = \mathbf{b}^T [\mathbf{a}]_{\times} = \begin{bmatrix}b_1&b_2&b_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&\,0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}$

где

$[\mathbf{a}]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&0&\!-a_1\\\!-a_2&\,\,a_1&\,\,0\end{bmatrix}$

Пусть $\mathbf{a}$ равен векторному произведению:

$\mathbf{a} = \mathbf{c} \times \mathbf{d}$

тогда

$[\mathbf{a}]_{\times} = (\mathbf{c}\mathbf{d}^T)^T - \mathbf{c}\mathbf{d}^T.$

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т.п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь n(n-1)/2 независимых компонент в n-мерном пространстве. В трехмерном пространстве получаются 3 независимых компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

$[\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{a} = \mathbf{0}$ and $\mathbf{a}^{T} \, [\mathbf{a}]_{\times} = \mathbf{0}$

а так как $[\mathbf{a}]_{\times}$ кососимметрична, то

$\mathbf{b}^{T} \, [\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{b} = 0.$

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило "бац минус цаб").

[править] Распространение на матрицы

В 3-хмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу A как столбец векторов, тогда

$\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \times \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \times \vec b \\\vec a_2 \times \vec b \\\vec a_3 \times \vec b \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vec a_3\end{bmatrix} \cdot \vec b = \begin{bmatrix}\vec a_1 \cdot \vec b \\\vec a_2 \cdot \vec b \\\vec a_3 \cdot \vec b \end{bmatrix}$

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить A как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответсвенно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (A - матрица, x,y - векторы):

$A \cdot (\vec x \times \vec y) = (A \times \vec x) \cdot \vec y$

$A \times (\vec x \times \vec y) = \vec x (A \cdot \vec y)- \vec y (A \cdot \vec x)$

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

$\vec x \times \vec y = E \cdot (\vec x \times \vec y) = (E \times \vec x)\cdot \vec y$

E - единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонетно, представляя их как "векторы из векторов", стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в $R 3$ примет вид:

$\int_{\Sigma}\operatorname{rot}\, \mathbf{A^T} \, \mathbf{d\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} \mathbf{A}\cdot\, d \mathbf{r},$

где ротор матрицы A вычисляется как векторное произведение матрицы A на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

$\int_{\Sigma}\operatorname{grad}\, u \times \, \mathbf{d\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} u\, d \mathbf{r},$

$\int_{\Sigma} \left[ \mathbf{d\Sigma}; \left[ \nabla; \vec a \right] \right] = \int_{\partial\Sigma} \vec a \times d \mathbf{r},$

[править] Размерности, не равные трем

( В общем случае обозначим размерность $D$ ).

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трехмерного векторного произведения, а именно, в частности, превращающее два векторных сомножителя в однозначный псевдовекторный результат, можно ввести, очевидно, только для размерности 3.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно - и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора $(D - 1)$ векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в $D$ -мерном пространстве на операцию с $D$ сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты $\varepsilon_{i_1 i_2 i_3 ... i_D}$ с $D$ индексами, можно явно записать такое $(D - 1)$ -валентное векторное произведение как

$P_i(\mathbf{a,b,c,...}) = \sum_{i,j,k,m,...=1}^D \varepsilon_{ijk...} a_j b_k c_m ...$ .

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности $(D - 1)$ .

Если же надо иметь для всех размерностей операцию именно для двух сомножителей, имеющую общий геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведению, как оно выглядит в трехмерном случае (т.е. представлять ориентированную площадь), то придется отказаться от векторности результата (т.к. при $D$ , не равном трем, не найдется единственной, однозначно определенной, нормали к (двумерной) плоскости, натянутой на множители. Однако величина с двумя индексами (тензор) легко может обладать всеми остальными полезными свойствами векторного произведения, сохраняет точный смысл ориентированной (2-мерной) площади, вычисляясь в компонентах даже несколько проще, чем векторное (не нужно несколько усложняющее правило замены индексов или свертка с символом Леви-Чивиты):

$\ P_{ij}(\mathbf{a,b}) = a_i b_j - a_j b_i$ .

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного же случая есть удобная конструкция псевдоскалярного произведения, реализующая также двумерную площадь, представляющее собой проекцию векторного произведения на третью ось, если дополнить плоскость до пространства.

Эти формулы записаны для ортонормированного базиса.
В произвольном базисе формулы для вычисления (гипер-)площади несколько сложнее.

[править] См. также

[править] Ссылки

Многомерное векторное произведение
Кочин Н.Е. "Введение в векторный и тензорный анализ"

Категории: Аналитическая геометрия | Векторный анализ

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.