See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Теорема Стокса — Википедия

Теорема Стокса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Содержание

[править] Общая формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p-мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p−1 класса C1 (1\leq p \leq n). Тогда если граница подмногообразия ∂σ положительно ориентирована, то

\int_\sigma d\omega = \int_{\partial \sigma} \omega,

где dω обозначает внешний дифференциал формы ω.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.

[править] Частные случаи

[править] Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая l, соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма ω нулевой степени класса C1 — это дифференцируемая функция f. Формула Стокса тогда записывается в виде

\int_l df = \int_l f'\,dx = \int_a^b f =f(b)-f(a).

[править] Формула Грина

Пусть Mплоскость, а D — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y, — это выражение f1dx+f2dy, и для интеграла этой формы по границе области D верно

\int_{\partial D}f_1dx + f_2dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y}\right)dx dy.

[править] Формула Кельвина — Стокса

Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ∂Σ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:

 \int_{\Sigma}\operatorname{rot}\, \mathbf{F} \, \mathbf{d\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} \mathbf{F}\, d \mathbf{r},

или в координатной записи

\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dxdy=\int_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.

[править] Формула Остроградского

Пусть теперь ∂V — кусочно-гладкая гиперповерхность (p = n−1), ограничивающая некоторую область V в n-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области ∂V:

\int_V \operatorname{div} \,\mathbf{F}\, dV=\int_{\partial V} \mathbf{F} \, \mathbf{d\Sigma}.

[править] Литература

[править] См. также



aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -