Ориентация
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ориентация, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определенном смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.
В элементарной математике, ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».
Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре и т. д.). Современный взгляд на ориентацию дается в рамках обобщенных теорий когомологий.
Содержание |
[править] Конечно-мерное векторное пространство
В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.
Для общего поля определение ориентации прeдтавляет трудности. Например в комплексном пространстве 
комплексный репер e1,e2,...,en определяет действительный репер e1,e2,...,en,ie1,ie2,...,ien в том же пространстве, рассматриваемом как 
, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря комплексная структура задает ориентацию в ).
[править] Аффинное пространство
На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве A системы координат состоят из точки (начала O) и репера {ei}, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).
Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, т. е. существует непрерывно зависящее от параметра ![t\in[0, 1]](../../../../math/d/9/a/d9a06fde4663cdd5b1ba693e9127232f.png)
семейство координатных систем O(t), {ei(t)}, связывающее данные системы O, {ei} и O', {e'i}.
При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.
Ориентация может быть задана порядком вершин n-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, если и только если они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая (n − 1)-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит гране, то порядок остальных принимается для неё за положительный.
[править] Многообразия
В связном многообразии M системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих M. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны + 1, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие M называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если M имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берется репер, ориентирующий M, первый вектор которого направлен из M, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.
[править] Дезориентирующий контур
Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.
Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии M, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы π1(M) на 
с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.
Вдоль любого пути ![q: [0, 1]\to M](../../../../math/4/b/5/4b5e6930c0d11d9571636c4aaafcbaa7.png)
можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке q(0) определяет орентацию в точке q(1), и эта связь зависит от пути q лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если q — петля, т. е. q(0) = q(1) = x0, то q называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы π1(M,x0) в группу порядка 2: дезориентирующие петли переходят в - 1, а остальные в + 1. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (т. к. накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над M одномерное расслоение, тривиальное, если и только если M ориентируемо. Для дифференцируемого M оно может быть определено как расслоение Ωn(M) дифференциальных форм порядка 
. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задает форму объёма на M и одновременно ориентацию.
[править] На языке гомологий
Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края гомологии группа 
(с замкнутыми носителями) изоморфна 
, и выбор одной из двух образующих задает ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для 
. В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары 
. Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.
Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе 
, изоморфной Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщенные гомологические многообразия.
[править] Псевдомногообразия
Триангулированное многообразие M (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все n-мерные симплексы так, что два симплекса с общей (n − 1)-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка n-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую (n − 1)-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.
[править] Расслоения
Пусть над пространством B задано расслоение 
со стандартным слоем F. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определенное путем в B однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.
[править] Бесконечно-мерные пространства
Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.
