Wielomiany Czebyszewa

Z Wikipedii

Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę wielomianów, nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszewa.

Spis treści

1 Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju
2 Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju
- 2.1 Definicja rekurencyjna:
- 2.2 Zobacz też

[edytuj] Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju

[edytuj] Definicja rekurencyjna:

T 0 (x) = 1

T 1 (x) = x

$T_k(x)=2x\cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)$

[edytuj] Postać jawna

Rozwiązaniem powyższej rekurencji (otrzymanym np. przez metodę równania charakterystycznego rekursji) jest :

$T_k(x) = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^k + (x-\sqrt{x^2-1})^k}{2}$

[edytuj] Parzystość wielomianów Czebyszewa

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k - nieparzysty:

T k ( - x) = ( - 1) k T k (x)

[edytuj] Postać trygonometryczna

Dla $x\in [-1;1]$ podstawiając za x $\! \cos\ t$ , dla $k=0,1,2,\cdots$

$T_k(t) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{\cos^2\ t-1})^k + (\cos\ t-\sqrt{\cos^2-1})^k}{2} =$

$T_k(t) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{-\sin^2\ t})^k + (\cos\ t-\sqrt{-\sin^2\ t})^k}{2} =$

$T_k(t) = \frac{(\cos\ t + i\cdot \sin\ t)^k + (\cos\ t- i\cdot \sin\ t)^k}{2}$

gdzie $i=\sqrt{-1}$

Po zastosowaniu wzoru na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

$\! T_k(t) = \cos kt$

$\! t = \arccos x$

$\! T_k(x)=\cos(k\cdot \arccos(x))$ (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcję trygonometryczną cos i jej odwrotność arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

$T_k(x) = \begin{cases} \cos(k\arccos x), & \ x \in [-1,1] \\ \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^k \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \ x \le -1 \\ \end{cases}$

Można wykazać, że

$\cos(k\cdot t)=\frac{e^{i k \cdot t}+e^{-i k \cdot t}}{2}=\frac{(e^{i \cdot t})^k+(e^{i \cdot t})^{-k}}{2}$

ponieważ zachodzi

$\! e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+i \sin(t)$

oraz

$\sin(t)=\sqrt{1-\cos(t)^2}$

zachodzi

$e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+ \sqrt{\cos(\cdot t)^2-1}$

a stąd

$\cos(k \cdot t)=\frac{(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^k+(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^{-k}}{2}$

podstawiają za $cos(t)$ x, otrzymuje się

$T_k(x)=\frac{(x+ \sqrt{x^2-1})^k+(x+ \sqrt{x^2-1})^{-k}}{2}$

[edytuj] Zera wielomianów Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa $T k (x)$ posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

$x_j=\cos \left(\frac {2\cdot j -1}{2\cdot k}\cdot\pi \right)$

$j=1,2,\cdots , k$

[edytuj] Ortogonalność

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni $L_p^2[-1,1]$ z funkcją wagową $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ :

$\int\limits_{-1}^1 T_k(x)T_j(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: k\ne j~~~~~\\ \pi &: k=j=0\\ \pi/2 &: k=j\ne 0 \end{matrix} \right.$

[edytuj] Dowód:

$<T_k,T_j> = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{T_k(x) \cdot T_j(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{\cos( k \cdot \arccos(x)) \cdot \cos( j \cdot \arccos(x))}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Zastosujmy podstawienie $t = arccos(x)$ . Mamy wówczas $\frac{dt}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ oraz $x = cos(t)$ . Stosując we wcześniejszym wzorze:

$<T_k,T_j> = - \int\limits_{ \pi } ^{0} \frac{ \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) }{\sqrt{1-cos^2(t)}} \sqrt{1-cos^2(t)} dt = \int\limits_{0} ^{\pi} \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) dt$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego $\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} [cos (\alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)]$ dostajemy

$<T_k,T_j> = \int\limits_{0} ^{ \pi } \frac{1}{2} [cos((k-j)t) + \cos((k+j)t)] dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k-j)t) dt + \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k+j)t) dt$

Załóżmy w tym momencie, że $k \neq j$ i rozpatrzmy obie całki osobno.

$\int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k-j)t) dt = \frac{1}{k-j} \int\limits_{0} ^{(k-j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k-j} [ \sin(t) ] ^{(k-j) \pi} _{0} = 0$

Analogicznie:

$\int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k+j)t) dt = \frac{1}{k+j} \int\limits_{0} ^{(k+j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k+j} [ \sin(t) ] ^{(k+j) \pi} _{0} = 0$

Zatem:

< T k, T j > = 0

Widać, że założenie, iż $k \neq j$ jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymali byśmy 0 w mianowniku ułamka.

Powyższe rówanania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy $j=k \neq 0$

$<T_k,T_k> = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } [cos((k-k)t) + \cos((k+k)t)] dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } [1 + \cos(2kt)] dt =$

$= \frac{\pi}{2} + \int\limits_{0} ^{\pi} \cos(2kt) dt = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2k} \int\limits_{0} ^{2k \pi} \cos(t) dt = \frac{\pi}{2}$

W przypadku $k = j = 0$ dostajemy

< T 0, T 0 > = π

co kończy dowód

[edytuj] Przykłady wielomianów Czebyszewa

T₀ T₁, T₂ T₃ T₄ T₅

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$

[edytuj] Przykład zastosowania

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: patrz dyskusja

Wielomiany Czebyszewa, m.in. ze względu na fakt, że dla $x\in [-1;1]$ $T_k(x) \in [-1;1]$ pozwalają oszacować z góry wartość wielomianów ( w [-1;1]) w(x), takich, że współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy jeden