Wielomiany Hermite'a
Z Wikipedii
Wielomiany Hermite'a - to wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego
- ,
przy warunkach początkowych
- H0(x) = 1,
- H1(x) = 2x.
Wielomiany Hermite'a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.
Spis treści |
[edytuj] Równoważne definicje
- .
[edytuj] Wykładnicza funkcja tworząca
Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite'a jest
- .
Innymi słowami - jeśli rozwiniemy
w szereg Maclaurina względem zmiennej , współczynnikiem przy będzie .
[edytuj] Wykresy pierwszych czterech wielomianów
[edytuj] Własności wielomianów Hermite'a
- Hn(x) jest wielomianem n-tego stopnia.
- ,
czyli dla n parzystego Hn(x) jest funkcją parzystą, a dla n nieparzystego - funkcją nieparzystą.
- ,
czyli wielomiany Hermite'a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową .
[edytuj] Bibliografia
- Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.