פולינומי הרמיט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פולינומי הרמיט, על שמו של המתמטיקאי שארל הרמיט, הם סדרה (אינסופית) של פולינומים אורתוגונליים רציפים המשמש בעיקר בפיזיקה (פתרון לאוסצילטור הרמוני קוונטי) ובקומבינטוריקה.

מבחינה מתמטית, הפולינומים הינם פתרונות למשוואה הדיפרנציאלית $\ {d^2y \over dx^2}-2xy+2ny=0$ עבור תחום ההגדרה $\ -\infty\leq x \leq\infty$ , והם מוגדרים באופן הבא: $\ H_n(x)={(-1)^n}{e^{x^2}}{d^n \over dx^n}{e^{-x^2}}$

לכאורה פונקציית בסל מהווה פתרון למשוואות מסוג זה, אולם יש לשים לב כי המקדם $\ (bc)^2$ בהגדרתה שווה למספר שלילי.

חמשת פולינומי הרמיט הראשונים

חמשת פולינומי הרמיט הראשונים:

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=2x\,$

$H_2(x)=4x^2-2\,$

$H_3(x)=8x^3-12x\,$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,$

[עריכה] תכונות ומאפיינים

[עריכה] אורתוגונליות

קל לראות כי ניתן להציג את המשוואה הדיפרנציאלית שלעיל כאופרטור שטורם-ליוביל: $\ {d \over dx} [e^{-x^2}{dy \over dx}]={e^{-x^2}}2ny$ , ולכן על פי תורת שטרום ליוביל פולינומי הרמיט הינם מערכת אורתוגונלית: $\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx}= \delta_{n,m}(x) A_n$ כאשר $\ A_n$ נתון על ידי $\ A_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n^2(x)e^{-x^2}dx}=\sqrt {\pi} 2^n n!$

בשל תכונת האורתוגונליות של הפולינומים, ניתן לפתח כל פונקציה לטור פונקציות על בסיסו:

$\ f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{C_n H_n(x)}$

כאשר את המקדם $\ C_n$ ניתן לחשב על ידי $\ C_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x) H_n(x)e^{-x^2}dx}$

[עריכה] פונקציה יוצרת

הפונקציה היוצרת, דהיינו פונקציה של שני משתנים ממנה ניתן ליצור את $\ H_n(x)$ על ידי $\ n$ גזירות היא

$\ \Phi(x,h)=e^{2xh-h^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty{H_n(x){h^n\over{n!}}}$

כאשר כדי ליצור פולינום הרמיט מסדר $\ n$ , יש לגזור את הפונקציה היוצרת פעמים ולהציב $\ h=0$ .

[עריכה] יחסי רקורסיה

ניתן להגדיר את פולינום הרמיט מסדר $\ n$ באמצעות יחס הרקורסיה: $\ H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)$

[עריכה] הצגה אינטגרבילית

הצגה אינטגרבילית של פולינום הרמיט: $\ H_n(x)=\sqrt{2n\over \pi}\int\limits_{ - \infty }^\infty {(x+it)^n e^{-t^2}dt}$

[עריכה] שימושים

פולינומי הרמיט מופיעים באוסצילטור הרמוני קוונטי שם הפונקציות העצמיות הן

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \hbox{exp} \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$