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エルミート多項式 - Wikipedia

エルミート多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

エルミート多項式（-たこうしき）とは、常微分方程式

\left( \frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+2n\right) H_n(x)=0

を満たす多項式Hn(x)のことを言う。 エルミート多項式は重み関数をe^{-x^2}として、次の直交性を持つ。

\int^\infty_{-\infty}H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=0

ただし、n\ne m。ロドリゲスの公式を用いれば、

H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

と表記できる。

母関数は

S(x,y)=e^{-y^2+2xy}=\sum^\infty_{n=0}H_n(x)\frac{y^n}{n!}

である。

エルミート多項式は量子化された調和振動子の波動関数の一部としてその姿を現す。

[編集] 関連項目


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