Rekurencja

Z Wikipedii

Przykład rekurencji w sztuce użytkowej (Efekt Droste)

Rekurencja albo rekursja (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie. Wbrew próbom rozróżnienia terminów^{[potrzebne źródło]} rekursja i rekurencja w rzeczywistości słowa te mają identyczne znaczenie^{[potrzebne źródło]}.

W logice wnioskowanie rekurencyjne opiera się na założeniu istnienia pewnego stanu początkowego oraz zdania (lub zdań) stanowiącego podstawę wnioskowania (przy czym aby cały dowód był poprawny zarówno reguła jak i stan początkowy muszą być prawdziwe). Istotą rekurencji jest tożsamość dziedziny i przeciwdziedziny reguły wnioskowania, wskutek czego wynik wnioskowania może podlegać tej samej regule zastosowanej ponownie.

Na prostym przykładzie:

reguła: każdy ojciec jest starszy od swojego syna; każdy ojciec jest czyimś synem

stan początkowy: jestem 22-letnim mężczyzną

teza: ojciec ojca mojego ojca jest starszy ode mnie

dowód:

mój ojciec jest starszy ode mnie
mój ojciec jest czyimś synem
ojciec mojego ojca jest starszy od mojego ojca
ojciec mojego ojca jest czyimś synem
itd.

Na przykładzie zastosowań matematycznych poniższa definicja ciągu Fibonacciego jest rekurencyjna:

fib(0) = 0

fib(1) = 1

fib(n) = fib(n - 1) + fib(n - 2)

, dla $n \ge 2$

gdyż definiuje funkcję odwołując się w definicji do niej samej.

Każda definicja rekurencyjna potrzebuje przynajmniej jednego przypadku bazowego (nie rekurencyjnego), w tym przypadku są to wartości dla 0 i 1. W przeciwnym wypadku nigdy się nie zakończy.

Dla przykładu, obliczenie $fib(4)$ wygląda następująco:

$fib(4) = fib(3) + fib(2) = (fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0)) = ((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0)) = ((1 + 0) + 1) + (1 + 0) = 3$

Innym przykładem jest wyliczanie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa:

gcd(0,n)=n,
gcd(k,n)=gcd(n mod k, k) dla k>0 (n mod k oznacza tu resztę z dzielenia n przez k).

lub inaczej:

$\mbox{gcd}(k,n)= \begin{cases} n & \mbox{dla }k=0; \\ \mbox{gcd}(n\ \mbox{mod }k, k) & \mbox{dla }k>0. \end{cases}$

Rekurencja jest podstawową techniką wykorzystywaną w funkcyjnych językach programowania.

Należy jednak zachować ostrożność przy używaniu rekurencji w rzeczywistych programach. Jeśli program nie jest w rzeczywistości rekurencyjny, to rekurencja może dramatycznie zwiększyć złożoność obliczeniową. Ponadto rekurencja zawsze zwiększa pamięciowe zapotrzebowanie programu (chyba że zostanie użyta możliwa w pewnych przypadkach optymalizacja zwana rekursją ogonową), gdyż wymaga ona zapamiętania m.in. adresów powrotu, pozwalających programowi "zorientować się" do którego miejsca ma wrócić po zakończeniu jednego z wywołań rekurencyjnych. Inną częstą wadą rekurencji jest kompletnie niezależne rozwiązywanie podproblemów, tak, że czasem jeden problem jest rozwiązywany w kilku miejscach rozwinięcia rekurencji, np. w powyższym przykładzie obliczania $fib(4)$ niepotrzebnie jest dwukrotnie obliczana wartość $fib(2)$ (porównaj: programowanie dynamiczne). Takie problemy nie pojawiają się przy drugim z przykładów. Niezaprzeczalną zaletą rekurencji jest przejrzystość programów, które z niej korzystają.