Tschebyschow-Polynom

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Tschebyschow-Polynome (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, oft auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev in der Literatur zu finden) sind Polynome $T n (x)$ , die sich als Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

$(1-x^2)\, y''-x \, y'+n^2 \, y = 0$

ergeben. Die Funktionen

$y_1(x)=\left( 1 - {n^2 \over 2!} \, x^2 + n^2 \, {n^2-4 \over 4!} \, x^4 - {n^2 \, (n^2-4)\, (n^2-16) \over 6!} \, x^6 + \cdots \right)$

und

$y_2(x)=\left(x-{n^2-1 \over 3!} \, x^3 + {(n^2-1) \, (n^2-9) \over 5!} \, x^5 \mp \cdots \right)$

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

Für ganzzahlige $n$ brechen diese Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung $T n (1) = 1$ werden diese als Tschebyschow-Polynome $T n (x)$ bezeichnet.

Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

T 0 (x) = 1

T 1 (x) = x

T 2 (x) = 2 x 2 - 1

T 3 (x) = 4 x 3 - 3 x

T 4 (x) = 8 x 4 - 8 x 2 + 1

T 5 (x) = 16 x 5 - 20 x 3 + 5 x

T 6 (x) = 32 x 6 - 48 x 4 + 18 x 2 - 1

Sie können in allgemeiner Weise aus $T_{n+1}(x) = 2x \, T_n(x)-T_{n-1} (x)$ berechnet werden.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als $T_n(x)=\cos\left(n \, \arccos x\right)$ für $x \in [-1,1]$ oder $T n (cosθ) = cos(n θ)$ .

Die Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms $T n (x)$ sind $\cos\left(\frac{(2j+1)\pi}{2n}\right)$ für $j = 0,..., n - 1$ .

[Bearbeiten] Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyschow-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyscheff-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.

Kategorien: Numerische Mathematik | Analytische Funktion

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