Fehlerschranke

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die Artikel Fehlergrenze und Fehlerschranke überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Bitte äußere dich in der Diskussion über diese Überschneidungen, bevor du diesen Baustein entfernst. Ma-Lik ? +/- 11:15, 14. Apr. 2008 (CEST)

Fehlerschranken, auch Fehlergrenzen genannt, finden in der Fehlerrechnung, in der Messtechnik sowie in der Softwareentwicklung (Numerik) Verwendung. Eine Fehlerschranke wird mit dem griechischen Buchstaben $ε$ (Epsilon) angegeben und definiert eine vereinbarte oder garantierte, zugelassene äußerste Abweichung von einem Sollwert. Eine Fehlerschranke kann mit einem Toleranzwert gleichgesetzt werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Bemerkung
2 Anwendung
- 2.1 Messtechnik
- 2.2 Softwareentwicklung (Numerik)
3 Literatur
4 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Sei $x$ ein exakter Wert (Sollwert) und $\tilde x$ ein Näherungswert des exakten Wertes. Man schreibt auch $\tilde x \approx x$ .

$\Delta_x=x-\tilde x$ heißt (absoluter) Fehler.

$\delta_x=\frac{ \Delta_x }{x}$ heißt im Falle $x \not= 0$ (relativer) Fehler.

Wenn $\mid \Delta_x \mid \le \epsilon$ ist, so heißt $ε$ absolute Fehlerschranke.

Wenn $\frac {\epsilon }{\mid x \mid} \le \rho$ gilt, so heißt $ρ$ relative Fehlerschranke. Sie kann in Prozent angegeben werden.

[Bearbeiten] Bemerkung

Im Allgemeinen ist der Sollwert nicht bekannt, sondern nur der Näherungswert, welcher z.B. in der Messtechnik durch eine Messung gewonnen wird.
Da die relative Fehlerschranke dimensionslos ist, d.h. sie kann keiner Einheit zugeordnet werden, kann sie in Prozent angegeben werden. Wenn zum Beispiel der Messwert einer Messung nur um 1% vom Sollwert abweichen darf, so ist $ρ = 0.01$ .

[Bearbeiten] Anwendung

[Bearbeiten] Messtechnik

Die Fehlerschranke ist in der Messtechnik von größter Bedeutung. Es ist nicht möglich eine hundertprozentig genaue Messung durchzuführen. Eine Messung ist grundsätzlich mit einer Messabweichung behaftet. Die Fehlerschranke gibt hier die tolerierte Messabweichung an.

[Bearbeiten] Softwareentwicklung (Numerik)

Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen treten unweigerlich Rundungsfehler auf, da die Anzahl der Stellen (Größe der Mantisse) begrenzt ist. Müssen im Rahmen eines Algorithmus oder einer Rechenvorschrift zwei Gleitkommazahlen miteinander verglichen werden, so sollte die Fehlerschranke bei dem Vergleich berücksichtigt werden. Insbesondere bei numerischen Verfahren die gegen einem bestimmten Wert konvergieren, ist die Verwendung einer Fehlerschranke unabdingbar, da aufgrund der begrenzten Anzahl von Stellen einer Gleitkommazahl der Wert in der Regel nie den Sollwert exakt erreichen wird.

[Bearbeiten] Literatur

Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd.3, Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehlerrechnung und Ausgleichsrechnung, Vieweg Verlag, ISBN 3-5281-4937-X
Gisela Engeln-Müllges, Fritz Reutter: Numerik-Algorithmen. Entscheidungshilfe zur Auswahl und Nutzung, Springer Verlag, ISBN 3-1840-1539-4
Gisela Engeln-Müllges, Fritz Reutter: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit C-Programmen, Springer Verlag, ISBN 3-4110-3112-3
Reinhard Lerch: Elektrische Messtechnik. Analoge, digitale und computergestützte Verfahren, Springer Verlag, ISBN 3-5407-3610-7