Rozmaitość topologiczna
Z Wikipedii
n-wymiarowa rozmaitość topologiczna - przestrzeń Hausdorffa, spełniająca drugi aksjomat przeliczalności (tj. mająca bazę przeliczalną), i w każdym swoim punkcie lokalnie homeomorficzna[1] z (gdzie n jest liczbą całkowitą ≥ -1; Jedyną rozmaitością (-1)-wymiarową jest przestrzeń pusta). Ogólniejszym pojęciem jest n-wymiarowa rozmaitość topologiczna z brzegiem czyli przestrzeń Hausdorffa, spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, i w każdym swoim punkcie lokalnie homeomorficzna z . Z ostrożności i dla wygody czytelników, by unikać ewentualnych nieporozumień, gdy mówimy o rozmaitościach (z pustym brzegiem) to mówimy "rozmaitość bez brzegu", dodając niby już raz podaną informację, że brzeg jest pusty.
[edytuj] Definicje pomocnicze
Rozmaitości zwarte, bez brzegu, nazywamy zamkniętymi.
Wnętrzem n-wymiarowej rozmaitości topologicznej M z brzegiem nazywamy zbiór punktów mających otoczenia homeomorficzne z , i oznaczamy to wnętrze symbolem . Zbiór nazywamy brzegiem rozmaitości topologicznej. Rozmaitości z pustym brzegiem są po prostu rozmaitościami.
Uwaga: Wnętrze i brzeg rozmaitości nie są tym samym co wnętrze i brzeg zbioru w topologii ogólnej.
Brzeg n-wymiarowej rozmaitości jest zawsze rozmaitością (n − 1)-wymiarową lub zbiorem pustym.
O rozmaitościach n-wymiarowych mówimy też krótko n-rozmaitości. Gdy oznaczamy rozmaitość symbolem z górnym indeksem, na przykład Mn, to górny index oznacza wymiar - w danym przykładzie n.
[edytuj] Najprostsze operacje na rozmaitościach
Suma topologiczna (czyli topologiczna suma rozłączna) niepustej, przeliczalnej rodziny n-rozmaitości jest n-rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.
Iloczyn kartezjański m-rozmaitości Mm z n-rozmaitością Nn jest m + n-rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (jakby wzór Leibniza!):
W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.
Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.
Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej lub iloczynu kartezjańskiego zależy wyłącznie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną i iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem tworzą półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu - podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjąński jest rozdzielny względem sumy topologicznej.
[edytuj] Rozmaitości 0- i 1-wymiarowe
Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, 0-wymiarową rozmaitością spójną (z brzegiem lub bez) jest przestrzeń 1-punktowa. 0-wymiarowe rozmaitości (z brzegiem lub bez) to po prostu przeliczalne, skończone lub nieskończone (ale niepuste) przestrzenie dyskretne. Rozmaitości 0-wymiarowe nigdy nie mają brzegu.
Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, niezwartą 1-wymiarową rozmaitością spójną, bez brzegu, jest prosta rzeczywista , a zwartą - okrąg . Jedynymi 1-wymiarowymi rozmaitościami spójnymi z niepustym brzegiem są półprosta domknięta i odcinek domknięty (z oboma końcami). Pierwsza jest niezwarta, a druga z nich jest zwarta. Ich końce, i tylko one, są punktami brzegowymi.
[edytuj] Homeomorfizm (a nawet dyfeomorfizm) odcinka [0;1) i półprostej [0; ∞)
Niech funkcje i będą określone przy pomocy wzorów:
- ,
- .
Są to funkcje ciągłe (nawet nieskończenie wiele razy różniczkowalne - czyli gładkie, wręcz analityczne). Przy tym każda z nich jest odwrotnością pozostałej w sensie złożenia:
- dla
oraz
- dla .
Obie funkcje są rosnące. Dają prosty przykład homeomorfizmu (i jego odwrotności) dwóch rozmaitości z brzegiem. Przy okazji otrzymało się dowód równoliczności odcinka [0,1) i półprostej .
[edytuj] Najprostsze rozmaitości n-wymiarowe
Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń . Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:
oraz sfera:
Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest zawsze o jeden mniejszy
- .
Sfera jest rozmaitością bez brzegu.
Uwaga: Sfera 0-wymiarowa jest 2-punktową przestrzenią dyskretną, a więc jest rozmaitością niespójną.
n-wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli n-ta potęga kartezjańska okręgu:
Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest n jest rozmaitością n-wymiarową.
Zachodzą klasyczne twierdzenia:
Twierdzenie (Brouwer) Kula ma własność punktu stałego: dla dowolnego odwzorowania ciągłego
istnieje takie, że f(x) = x.
Twierdzenie (o retrakcji) Nie istnieje retrakcja (ciągła) kuli na jej brzeg, to znaczy: nie istnieje odwzorowanie ciągłe
takie, że r(x) = x dla każdego .
Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.
Niech , gdzie oraz . Dla dowolnej liczby rzeczywistej s zdefiniujmy:
gdzie operacja oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde jest homeomorficzne z . Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej. Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne i pokrywają całe . W szczególności .
[edytuj] Sfera bez punktu
Niech , więc . Niech ponadto:
Pokażemy, że
Sfera bez punktu, , jest homeomorficzna z .
na przykład z .
Dowód Zacznijmy od odwzorowania ciągłego , danego wzorem:
Mianownik nie jest 0 dla . Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście , czyli że .
Jeżeli , to:
skąd , więc . Możemy więc rozpatrywać obcięcie
Jest to tak zwany rzut stereograficzny; pokażemy że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja , dana wzorem:
(łatwo policzyć, że naprawdę czyli ). Sprawdźmy, że i są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech dla pewnego . Wtedy ze wzoru na otrzymujemy:
oraz
krótko:
Zatem:
czyli , co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.
Niech z kolei , gdzie czyli . Wtedy
Policzmy licznik i mianownik ułamka ; najpierw licznik:
A teraz mianownik:
Zatem , czyli , co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.
Koniec dowodu.
Uwaga Rzut stereograficzny i jego odwrotność można oznaczać bardziej specyficznie przez oraz . Na przykład: oraz , gdzie .
Twierdzenie Niech będzie dowolnym odwzorowaniem ciągłym, zdefiniowanym na dowolnej przestrzeni topologicznej . Jeżeli nie jest na, to jest homotopijnie trywialne.
Dowód Niech punkt sfery nie należy do obrazu funkcji . Homotopia łącząca z funkcją stałą (o wartości , dana jest następująco:
dla oraz .
Koniec dowodu.
[edytuj] Częściowa jednorodność topologiczna Bn
Niech będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzorem:
Wówczas odwzorowanie , dane wzorem
jest również homeomorfizmem.
Homeomorfizm, odwrotny do F: można opisać przy pomocy wzoru:
- ,
gdzie g jest homeomorfizmem odwrotnym do f (patrz wyżej).
Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną :
Twierdzenie: Dla dowolnych istnieje homeomorfizm kuli domkniętej na siebie, taki że h(a) = b oraz h(x) = x dla każdego .
Dowód: Homeomorfizm h definiuje się wzorem:
Koniec dowodu.
Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla n = 0. Dowód jest wtedy trywialny, gdyż zbiór jest pusty.
Powyższa konstrukcja daje więcej, gdyż określa działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej na przestrzeń :
- ,
które jest tożsamością na oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu . H dane jest wzorem:
- .
Wtedy H(x,0) = x, oraz
- ,
co pokazuje, że H jest rzeczywiście grupą transformacji. Jednobieżność H we wnętrzu kuli jest oczywista: dla dowolnych istnieje dokładnie jedno , dla którego , mianowicie .
[edytuj] Jednorodność i spójność rozmaitości spójnych
Powyższy tytuł ma sugerować, że rozmaitości spójne są spójne w pewien szczególnie mocny sposób, a nie tak słabo, jak na przykład suma mnogościowa X dwóch domkniętych kul w przestrzeni stuwymiarowej, które mają dokładnie jeden punkt wspólny p; wtedy usunięcie tego punktu powoduje, że powstała przestrzeń nie jest spójna.
Niech będzie dowolnym punktem n-wymiarowej rozmaitości spójnej . Niech będzie zbiorem wszystkich punktów dla których istnieje zbiór otwarty , homeomorficzny z , który zawiera oba punkty i Pokażemy poniżej, że .
Jest oczywistym, że zbiór jest otwarty. Pozostało dowieść, że jest także domknięty:
Niech należy do domknięcia zbioru .
Istnieje homeomorfizm przestrzeni na pewne otoczenie punktu w rozmaitości , spełniający warunki
- .
Niech B będzie obrazem . Istnieje punkt b, należący do wnętrza zbioru B (a więc do obrazu wnętrza ), który należy do X (jako, że c należy do domknięcia X). Częściowa jednorodność kuli (patrz wyżej) mówi, że istnieje homeomorfizm taki, że
- dla każdego
(Oczywiście jest brzegiem topologicznym zbioru B). Zatem odwzorowanie dane wzorami:
- dla ,
- dla
jest homeomorfizmem.
Ponieważ nie należy do , więc . Zatem zawiera, zarówno punkt , jak i punkt . Pokazaliśmy więc, że należy do ; czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru . Ponieważ nasza rozmaitość jest spójna, to .
Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzenia:
- Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z , zawierający te dwa punkty;
- Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi;
- Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, i to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).
Z pierwszego twierdzenia powyżej wynika natychmiast jego wzmocnieniona wersja:
- Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór homeomorficzny z , zawierający te dwa punkty w swoim wnętrzu.
Ta wersja pozwala bezpośrednio tłumaczyć wszelakie twierdzenia o krotnej, częściowej topologicznej jednorodności na twierdzenia o odpowiedniej krotnej jednorodności dowolnej spójnej n-rozmaitości.
[edytuj] Suma spójna dwóch n-rozmaitości
Sumę spójną dwóch n-rozmaitości otrzymuje się przez wycięcie z każdej z nich wnętrza pewnej kuli domkniętej, po czym skleja się tak otrzymane podprzestrzenie wzdłuż brzegu wyciętych kul (wzdłuż sfery (n-1)-wymiarowej).
Nieco formalniej: Niech odwzorowania oraz będą zanurzeniami homeomorficznymi, gdzie Mn oraz Nn są n-rozmaitościami. W sumie topologicznej podprzestrzeni oraz zidentyfikujmy pary punktów f(x) oraz g(x) dla każdego . Otrzymana topologiczna przestrzeń ilorazowa nazywa się sumą spójną, i jest oznaczana
- .
Okazuje się, że z dokładnością do homeomorfizmu, wynik (suma spójna) nie zależy od wyboru funkcji f i g powyżej. Nie zmieni się też, gdy dane rozmaitości zastąpimy przez homeomorficzne. Otrzymaliśmy więc trzecią, po sumie topologicznej i iloczynie kartezjańskim, operację dwuargumentową na rozmaitościach i ich klasach homeomorficznych - ściślej mówiąc - suma łączna jest ciągiem operacji, z których każda działa wyłącznie w swoim wymiarze n.
Elementem neutralnym sumy spójnej n-rozmaitości jest sfera :
- .
Ponadto, suma spójna jest przemienna i łączna.
Twierdzenie: Każda orientowalna 2-rozmaitość zamknięta jest sumą spójną skończonej liczby torusów (w szczególności sfera jest sumą spójną zero torusów).
[edytuj] Bordyzm
Mówimy, że rozmaitość zwarta M ogranicza, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem W taka, że jest dyfeomorficzny z M. Rozmaitości zwarte M,N nazywamy bordycznymi, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem W, której brzeg jest dyfeomorficzny z topologiczną sumą rozłączną . Bordyzm jest relacją równoważności. W zbiorze klas dyfeomorfizmu rozmaitości zwartych, rozważając relację bordyzmu można zdefiniować działania, odpowiednio, dodawania i mnożenia tak, że będzie on pierścieniem - pierścień ten nazywamy pierścieniem bordyzmu rozmaitości.
Przypisy
- ↑ Przestrzeń topologiczną nazywamy lokalnie homeomorficzną w punkcie z przestrzenią topologiczną gdy istnieje otoczenie otwarte punktu , homeomorficzne z .