Dyfeomorfizm
Z Wikipedii
Spis treści |
Dyfeomorfizm – rodzaj odwzorowania różniczkowalnego w analizie matematycznej będący izomorfizmem rozmaitości różniczkowalnych tak, że odwzorowanie i odwrotne do niego są gładkie.
[edytuj] Definicja
Niech X,Y będą przestrzeniami unormowanymi oraz D niepustym podzbiorem X. Przekształcenie nazywamy dyfeomorfizmem, jeśli
- D oraz jego obraz F(D) są zbiorami otwartymi (czyli F jest odwzorowaniem otwartym),
- F jest funkcją odwracalną,
- F i F − 1 są klasy C1.
Z powyższej definicji wynika, że jeśli F jest dyfeomorfizmem, to F i F − 1 są odwzorowaniami regularnymi. Inaczej, każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem.
W szczególnym przypadku, gdy , dyfeomorfizm to po prostu homeomorfizm klasy C1 o różniczce maksymalnego rzędu, którego funkcja odwrotna jest klasy C1 w F(D).
[edytuj] Dyfeomorfizm przywiedlny
Niech D będzie otwartym podzbiorem . Mówimy że dyfeomorfizm jest przywiedlny, jeśli istnieją takie , że dla .
Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.
[edytuj] Dyfeomorfizm zachowujący orientację
Funkcja jest dyfeomorfizmem, gdy jest bijekcją klasy C1, taką że dla . (Por. definicję dla ). Mówimy, że dyfeomorfizm zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli . W przeciwnym wypadku, gdy , mówimy, że zmienia orientację.
Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:
[edytuj] Twierdzenie
Niech G będzie otwartym podzbiorem , będzie drogą kawałkami gładką oraz będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy
- ,
gdzie , gdy zachowuje orientację oraz , gdy zmienia orientację.
[edytuj] Grupa automorfizmów
Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej M jest dyfeomorfizmem M na siebie. W ten sposób można rozważać grupę automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznaczamy przez .
[edytuj] Ważne dyfeomorfizmy
- Dyfeomorfizm biegunowy
- Niech . Funkcja określona wzorem b(r,τ) = (rcosτ,rsinτ) przeprowadza B na obszar . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia JB = r.
- Dyfeomorfizm sferyczny
- Niech . Funkcja określona wzorem przeprowadza zbiór S na obszar . Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia wynosi JS = r2cosσ.
- Dyfeomorfizm walcowy
- Niech . Funkcja określona wzorem w(r,τ,z) = (rcosτ,rsinτ,z) przeprowadza W na obszar . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia również wynosi JW = r.
[edytuj] Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie
Niech X,Y będą przestrzeniami Banacha, D będzie niepustym, otwartym podzbiorem X oraz będzie dane odwzorowanie . Jeśli F jest regularne, to dla każdego istnieje jego otoczenie Ux, że odzworowanie jest dyfeomorfizmem.
Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.
[edytuj] Źródła
- Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.