Prawa Keplera
Z Wikipedii
Prawami Keplera nazywamy trzy prawa astronomiczne, odkryte przez Jana Keplera i opisujące ruch planet wokół Słońca. Kepler sformułował je w oparciu o dane obserwacyjne, pozostawione przez Tychona Brache, nadwornego astronoma cesarza Rudolfa II. Wynikało z nich jednoznacznie, że planety nie krążą wokół Słońca po okręgach, jak przyjmował Kopernik. Wierząc jednak w zasadniczą słuszność teorii Polaka, Kepler poszukiwał innej nieskomplikowanej krzywej, po której odbywa się ruch planet – kilka lat wytrwałych obliczeń i poszukiwań prowadzonych metodą prób i błędów (Kepler rozpoczął współpracę z Brachem w roku 1600) doprowadziło go do wniosku, że odpowiednią krzywą jest elipsa. Rezultaty swe opublikował w roku 1609 w dziele Astronomia nova ... (Nowa astronomia... – pełny tytuł księgi jest znacznie dłuższy). Po kolejnych kilku latach uzupełnił je trzecim prawem, opublikowanym w roku 1619 w Harmonices Mundi (Harmonia świata).
Były to prawa empiryczne, lecz ich znaczenie dla dalszego rozwoju fizyki trudno przecenić. Wiadomo dziś, że były one jedną z inspiracji, którymi kierował się Newton pracując nad stworzeniem swojego prawa powszechnego ciążenia.
Spis treści |
[edytuj] Pierwsze prawo Keplera
Pierwsze prawo Keplera stwierdza, że każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po elipsie, w której jednym z ognisk jest Słońce.
Z własności elipsy wynika, że dla dwóch położeń planety, P1 i P2, spełniona jest zależność
gdzie
- położenia ognisk elipsy,
- długość większej półosi orbity.
Z praw mechaniki wynika, że prawo to poprawnie opisuje ruch planety w układzie związanym ze Słońcem. W układzie inercjalnym zarówno planeta jak i samo Słońce wykonują ruchy po elipsach posiadających jedno wspólne ognisko. Ognisko to pokrywa się z centrum masy układu.
Elipsę można opisać na wiele sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy podając ich wielką półoś (a) oraz mimośród (e), który określa stopień spłaszczenia elipsy (im e bliższe zeru, tym elipsa bliższa jest okręgowi). Gdy znamy długość odcinka c między środkiem, a jednym z ognisk to możemy napisać wzór na mimośród elipsy e równy:
Kopernik budując swój model systemu heliocentrycznego opierał się wciąż na idei kombinowania ruchów jednostajnych po okręgu. Wymogło to na nim zachowanie w modelu kilkudziesięciu małych epicykli. Dopiero Kepler zamieniając te okręgi na elipsy pozbył się konieczności wprowadzania epicykli.
Mimośrody orbit planet w naszym układzie są w większości niewielkie. Poza Merkurym dla którego mimośród przekracza nieco wartość 0,2, eliptyczności orbit pozostałych planet są poniżej wartości 0,1.
[edytuj] Drugie prawo Keplera
Drugie prawo Keplera mówi, że w równych jednostkach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola. Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca).
Planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą drogę w pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium, czyli prędkość liniowa w pobliżu peryhelium jest większa niż w aphelium. Na przykład dla orbity Ziemi (mimośród e = 0,01672) prędkość liniowa Ziemi w peryhelium wynosi 30,3 km/s, zaś w aphelium 29,3 km/s.
Drugie prawo Keplera jest ściśle związane z zasadą zachowania momentu pędu. Siły grawitacyjne, jako oddziaływanie centralne, w układzie podwójnym nie wywołują momentów sił, zatem moment pędu układu zostaje zachowany. Prędkość polowa jest ściśle związana z momentem pędu planety
gdzie K to moment pędu planety, zaś m jest jej masą.
Rozpatrujemy planetę, która porusza się w polu grawitacyjnym Słońca, gdzie:
m - masa tej planety
M - masa Słońca
r - odległość tej planety od Słońca
T - okres obiegu planety wokół Słońca
Zakładamy, że planeta porusza się po okręgu, zatem siła dośrodkowa jest równa sile oddziaływania grawitacyjnego między tymi ciałami.
[edytuj] Trzecie prawo Keplera
Trzecie prawo Keplera głosi, że stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego oddalenia od Słońca jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym, co można zapisać wzorem:
gdzie:
- T1, T2 - okresy obiegu dwóch planet
- a1, a2 - średnie odległości tych planet od Słońca
np. okres obiegu Ziemi - 1 rok średnia odległość Ziemi od Słońca - 1 AU (jednostka astronomiczna)
[edytuj] Uogólnione trzecie prawo Keplera
Trzecie prawo Keplera można zapisać bardziej precyzyjnie uwzględniając, że ciała Układu Słonecznego poruszają się nie wokół Słońca a wokół wspólnego środka masy. Można to prawo wówczas zapisać wzorem:
gdzie:
- a - średnia odległość danej planety od Słońca
- G - stała grawitacji
- m - masa danej planety
- MS - masa Słońca
Korzystając z uogólnionego trzeciego prawa Keplera można wyprowadzić prawo nieuogólnione zapisując prawo uogólnione dla dwóch planet i zakładając, że masa planet jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą Słońca.
[edytuj] Czwarte "prawo" Keplera
W rzeczywistości Kepler sformułował cztery prawa opisujące ruch planet, jednak według współczesnej metodologii naukowej czwarte obecnie nie jest prawem, a jedynie ciekawą zbieżnością. Mianowicie, w opublikowanej w roku 1596 książce Mysterium cosmographicum (Tajemnica kosmograficzna) Kepler stwierdził, że jeśli na sferze wyznaczonej przez orbitę Merkurego (która w dobrym przybliżeniu jest okręgiem) opiszemy ośmiościan foremny, to okaże się, że jest on wpisany w analogiczną sferę Wenus. Jeśli na tej sferze opiszemy dwudziestościan foremny, to będzie on wpisany w sferę Ziemi; kolejny dwunastościan foremny wpisany jest w sferę Marsa, czworościan foremny opisany na niej wpisany jest w sferę Jowisza, a opisany na niej sześcian wpisany jest w sferę Saturna.
Wymienione wyżej figury geometryczne należą do tzw. brył platońskich i dyskutowane są w ramach tradycyjnej geometrii, ale także Świętej Geometrii (ang. Sacred Geometry), która zakłada, że budowa świata opiera się u swych podstaw na zasadach i proporcjach geometrycznych wyznaczonych przez w/w bryły platońskie (w sumie jest ich pięć: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan). Święta geometria leży w centrum zainteresowania m. in. masonerii. Stąd też cyrkiel i węgielnica stanowią jej "logo".
Zobacz też:
