Okrąg
Z Wikipedii
Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.
Słowo „okrąg” jest często mylone ze słowem „okręg” oznaczającym obszar administracyjny.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech S = (x0,y0) będzie ustalonym punktem, zaś r odcinkiem o dodatniej długości. Okręgiem nazywamy zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość
- .
Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego
- ,
gdzie parametr .
[edytuj] Pojęcia
Punkt S nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy odcinków o początku S i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość | r | nazywana jest tym terminem.
Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.
Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.
Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu, podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d, zachodzi równość d = 2r.
[edytuj] Wzory
Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem (kołem) jest π wynoszące w przybliżeniu Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych.
Długość okręgu wyraża się wzorem:
Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:
[edytuj] Uwagi
- W ujęciu topologicznym okrąg to brzeg koła domkniętego.
- Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.
[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa
Okrąg o środku w punkcie S(x0,y0,z0) i promieniu r, zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej może być zdefiniowany jako część wspólna sfery o środku S i płaszczyzny przechodzącej przez S. Opisuje go układ równań:
- ,
gdzie r > 0 oraz A,B,C równocześnie się nie zerują.
[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa
Okrąg zanurzony w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej o środku w punkcie i promieniu r może być zdefiniowany jako część wspólna n − 1-wymiarowej sfery o środku S oraz n − 2 hiperpłaszczyzn przechodzących przez S. Każdy okrąg w przestrzeni wielowymiarowej może zatem być opisany układem n − 1 równań:
Jednak nie każdy układ równań tej postaci generuje okrąg, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie okrąg, a np. sfera.
[edytuj] Wzajemne położenie dwóch okręgów
Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach O1 i O2 oraz promieniach odpowiednio r1 i r2. Przez d(O1,O2) rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.
[edytuj] Płaszczyzna
Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:
- identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: ,
- współśrodkowe – mają ten sam środek: O1 = O2,
- styczne wewnętrznie-mają dokładnie jeden punkt wspólny,jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg:d(O1,O2) = | r1 − r2 | ,
- styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = r1 + r2,
- rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d(O1,O2) < | r1 − r2 | , albo leżą na zewnątrz swoich kół: d(O1,O2) > r1 + r2,
- przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: | r1 − r2 | < d(O1,O2) < r1 + r2.
[edytuj] Przestrzeń
Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:
- współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
- identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
- rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
- rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.
[edytuj] Przestrzeń metryczna
Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. W dowolnej przestrzeni metrycznej mamy więc:
- .
Metryka euklidesowa generuje okrąg, istnieją jednak metryki, które na płaszczyźnie euklidesowej generują zbiory takie jak kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach i obrócony o ). Na prostej okręgiem są punkty równo oddalone od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest sfera.