Liniowa niezależność
Z Wikipedii
Liniowa niezależność – własność zbiorów wektorów w przestrzeni liniowej.
Skończony układ wektorów 
w przestrzeni liniowej V nazwiemy układem liniowo niezależnym, gdy każda nietrywialna kombinacja liniowa wektorów tego układu daje wektor niezerowy, czyli gdy zachodzi implikacja
- jeśli skalary
nie są wszystkie równe zero, to 
Nieskończony zbiór wektorów w V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy każdy jego skończony podzbiór jest liniowo niezależny.
Inaczej: układ wektorów (skończony lub nie) jest niezależny jeśli jedynymi kombinacjami liniowymi wektorów z tego układu, które są równe wektorowi zerowemu, są kombinacje, których wszystkie współczynniki są zerami.
Układ wektorów, który nie jest liniowo niezależny nazywamy liniowo zależnym.
Inaczej: układ wektorów jest liniowo zależny, gdy istnieje kombinacja liniowa jego wektorów o nie wszystkich współczynnikach równych zero, równa wektorowi zerowemu.
Spis treści |
[edytuj] Przestrzeń rozpięta
[edytuj] Definicja
Mówimy, że układ wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni liniowej V rozpina pewną podprzestrzeń W, gdy nośnikiem W jest zbiór kombinacji liniowych wektorów tego układu i W jest podprzestrzenią V.
[edytuj] Istnienie i jedyność
Każdy układ wektorów liniowo niezależnych w V rozpina dokładnie jedną przestrzeń liniową W.
[edytuj] Przykłady:
- układ wektorów (2,1,0), (-1,3,2), (1,1,1) jest liniowo niezależny, co można sprawdzić rozwiązując równanie x(2,1,0) + y(-1,3,2) + z(1,1,1) = (0,0,0) – jedynym jego rozwiązaniem jest trójka x=0, y=0, z=0.
Takie równanie można zapisać też w następujący sposób:
- (2x,x,0) + ( − y,3y,2y) + (z,z,z) = (2x − y + z,x + 3y + z,2y + z) = (0,0,0)
czyli macierzowo:
co sprowadza się do zauważenia, iż jest to jednorodny układ równań, a więc jego rozwiązanie istnieje i możemy zastosować do obliczenia tego układu wzory Cramera. Obliczając rząd macierzy macierzy głównej i korzystając z twierdzenia Kroneckera-Cappeliego łatwo dojdziemy do wniosku ile jest wektorów liniowo niezależnych (a nawet które z nich są liniowo niezależne, o ile nie będziemy przestawiać ich w trakcie obliczania rzędu).
Ponieważ rz(AT)=rz(A), to wystarczy obliczyć rząd macierzy macierzy głównej tego równania. A nawet obliczyć wyznacznik
macierzy zbudowanej z tych wektorów wpisanych pionowo, a nawet – jak powyżej – poziomo.
- układ wektorów (2,1,0), (-3,1,1), (-1,-3,-1) jest liniowo zależny, bo 2(2,1,0) + 1(-3,1,1) + 1(-1,-3,-1) = (0,0,0).
- układ wektorów (2,1,0), (1,1,1), (2,1,0) też jest liniowo zależny, bo (2,1,0) + 0(1,1,1) + (-1)(2,1,0) = (0,0,0).
- funkcje y = 1, y = sin x, y = sin 2x, y = sin 3x, ... traktowane jako wektory przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 2π] są liniowo niezależne. Ten fakt jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
- funkcje y = 1, y = cos x, y = cos 2x, y=cos 3x, ... traktowane jako wektory przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 2π] również są liniowo niezależne.
- funkcje y = 1, y = x, y = x2, y = x3... traktowane jako wektory przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale (-1, 1) są liniowo niezależne. Ten fakt jest podstawą teorii szeregów potęgowych.
