線性相關性

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在線性代數裡，向量空間的一組元素稱為線性無關(或稱線性獨立)，如果其中沒有向量可表示成有限個其他向量的線性組合，反之稱為線性相關。例如在三維歐幾里得空間R³的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

[编辑] 定義

假設V是在域K上的向量空間。如果v₁, v₂, ..., v_n 是V的向量，稱它們為線性相關，如果從域K 中有非全零的元素a₁, a₂, ..., a_n，適合

；

或更簡略地表示成，

。

(注意右邊的零是V的零向量，不是K的零元素。)

如果K中不存在這樣的元素，那麼v₁, v₂, ..., v_n是線性無關。

對線性無關可以給出更直接的定義。向量v₁, v₂, ..., v_n線性無關，若且唯若它們滿足以下條件：如果a₁, a₂, ..., a_n是K的元素，適合：

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0，

那麼對所有i = 1, 2, ..., n都有a_i = 0。

在V中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

[编辑] 相關性

• 含有零向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組a₁,a₂,...,a_s，其中a₁ = 0，則。

• 含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組a₁,a₂,...,a_s，其中a₁ = a₂，則。

• 若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
• 整體線性無關，局部必線性無關。
• 向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
• 若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
• 若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
• 若a₁,a₂,...,a_s線性無關，而b,a₁,a₂,...,a_s線性相關，則b必可由a₁,a₂,...,a_s線性表示，且表示係數唯一。
• 有向量組I{a₁,a₂,...,a_s}和II{b₁,b₂,...,b_t}，其中t > s，且II中每個向量都可由I線性表示，則向量組II必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
• 若一向量組b₁,b₂,...,b_t可由向量組a₁,a₂,...,a_s線性表示，且b₁,b₂,...,b_t線性無關，則。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。